Theorem supsrlem4 4022

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	⊢ C ∈ R
supsrlem.2	⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}
supsrlem4.1	⊢ D ∈ V

Assertion

Ref	Expression
supsrlem4	⊢ (D ∈ B ↔ (C +R (D +R -1R)) ∈ A)

Distinct variable group(s):   w,A   w,B   w,C

Proof of Theorem supsrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem4.1	. 2 ⊢ D ∈ V
2		opreq1 3006	. . . 4 ⊢ (x = D → (x +R -1R) = (D +R -1R))
3	2	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ (x = D → (C +R (x +R -1R)) = (C +R (D +R -1R)))
4	3	eleq1d 1155	. 2 ⊢ (x = D → ((C +R (x +R -1R)) ∈ A ↔ (C +R (D +R -1R)) ∈ A))
5		supsrlem.2	. . 3 ⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}
6		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (w = x → (w +R -1R) = (x +R -1R))
7	6	opreq2d 3013	. . . . 5 ⊢ (w = x → (C +R (w +R -1R)) = (C +R (x +R -1R)))
8	7	eleq1d 1155	. . . 4 ⊢ (w = x → ((C +R (w +R -1R)) ∈ A ↔ (C +R (x +R -1R)) ∈ A))
9	8	cbvabv 1424	. . 3 ⊢ {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A} = {x∣(C +R (x +R -1R)) ∈ A}
10	5, 9	eqtr 1119	. 2 ⊢ B = {x∣(C +R (x +R -1R)) ∈ A}
11	1, 4, 10	elab2 1419	1 ⊢ (D ∈ B ↔ (C +R (D +R -1R)) ∈ A)

Syntax hints:   ↔ wb 127   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791

This theorem is referenced by:  supsrlem5 4023  supsrlem6 4024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fv 2438  df-opr 3003

metamath.org