Theorem supsrlem5 4023

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	⊢ C ∈ R
supsrlem.2	⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}

Assertion

Ref	Expression
supsrlem5	⊢ (C ∈ A → ∃y(y ∈ B ∧ 0R <R y))

Distinct variable group(s):   y,w,A   y,B,w   y,C,w

Proof of Theorem supsrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.1	. . . 4 ⊢ C ∈ R
2		supsrlem.2	. . . 4 ⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}
3		1r 3984	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ R
4	3	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 1R ∈ V
5	1, 2, 4	supsrlem4 4022	. . 3 ⊢ (1R ∈ B ↔ (C +R (1R +R -1R)) ∈ A)
6		0lt1sr 3998	. . . 4 ⊢ 0R <R 1R
7	6	biantru 543	. . 3 ⊢ (1R ∈ B ↔ (1R ∈ B ∧ 0R <R 1R))
8		m1r 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
9	8	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ -1R ∈ V
10	4, 9	addcomsr 3990	. . . . . . 7 ⊢ (1R +R -1R) = (-1R +R 1R)
11		m1p1sr 3995	. . . . . . 7 ⊢ (-1R +R 1R) = 0R
12	10, 11	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ (1R +R -1R) = 0R
13	12	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (C +R (1R +R -1R)) = (C +R 0R)
14		0idsr 4000	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ R → (C +R 0R) = C)
15	1, 14	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (C +R 0R) = C
16	13, 15	eqtr 1119	. . . 4 ⊢ (C +R (1R +R -1R)) = C
17	16	eleq1i 1152	. . 3 ⊢ ((C +R (1R +R -1R)) ∈ A ↔ C ∈ A)
18	5, 7, 17	3bitr3 156	. 2 ⊢ ((1R ∈ B ∧ 0R <R 1R) ↔ C ∈ A)
19		eleq1 1149	. . . 4 ⊢ (y = 1R → (y ∈ B ↔ 1R ∈ B))
20		breq2 2066	. . . 4 ⊢ (y = 1R → (0R <R y ↔ 0R <R 1R))
21	19, 20	anbi12d 476	. . 3 ⊢ (y = 1R → ((y ∈ B ∧ 0R <R y) ↔ (1R ∈ B ∧ 0R <R 1R)))
22	4, 21	cla4ev 1401	. 2 ⊢ ((1R ∈ B ∧ 0R <R 1R) → ∃y(y ∈ B ∧ 0R <R y))
23	18, 22	sylbir 176	1 ⊢ (C ∈ A → ∃y(y ∈ B ∧ 0R <R y))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  1_Rc1r 3789  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  supsrlem6 4024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org