Theorem supsrlem6 4024

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	⊢ C ∈ R
supsrlem.2	⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}

Assertion

Ref	Expression
supsrlem6	⊢ ((C ∈ A ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,A   x,B,y,z,w   x,C,y,z,w

Proof of Theorem supsrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (x = v → (x ∈ B ↔ v ∈ B))
2		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (x = v → (0R <R x ↔ 0R <R v))
3	1, 2	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (x = v → ((x ∈ B ∧ 0R <R x) ↔ (v ∈ B ∧ 0R <R v)))
4	3	cbvabv 1424	. . . . 5 ⊢ {x∣(x ∈ B ∧ 0R <R x)} = {v∣(v ∈ B ∧ 0R <R v)}
5	4	suppsr3 4018	. . . 4 ⊢ ((∃v(v ∈ B ∧ 0R <R v) ∧ ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)))) → ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))))))
6		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (C +R (w +R -1R)) ∈ V
7		breq1 2065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((C +R (w +R -1R)) <R y ↔ x <R y))
8	7	negbid 463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (¬ (C +R (w +R -1R)) <R y ↔ ¬ x <R y))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ↔ (y ∈ A → ¬ x <R y)))
10		breq2 2066	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (y <R (C +R (w +R -1R)) ↔ y <R x))
11	10	imbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))) ↔ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))
12	9, 11	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ∧ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))) ↔ ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
13	12	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ∧ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ↔ (y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
14	13	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ∧ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))) ↔ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
15		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (C +R (v +R -1R)) ∈ V
16		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((C +R (v +R -1R)) ∈ A ↔ y ∈ A))
17		supsrlem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ C ∈ R
18		supsrlem.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B = {w∣(C +R (w +R -1R)) ∈ A}
19		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ v ∈ V
20	17, 18, 19	supsrlem4 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v ∈ B ↔ (C +R (v +R -1R)) ∈ A)
21	16, 20	syl5bb 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (v ∈ B ↔ y ∈ A))
22		breq2 2066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((C +R (w +R -1R)) <R (C +R (v +R -1R)) ↔ (C +R (w +R -1R)) <R y))
23		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ w ∈ V
24	17, 23, 19	supsrlem3 4021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) <R (C +R (v +R -1R)) ↔ w <R v)
25	22, 24	syl5bbr 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (w <R v ↔ (C +R (w +R -1R)) <R y))
26	25	negbid 463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (¬ w <R v ↔ ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y))
27	21, 26	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ↔ (y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y)))
28		breq1 2065	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((C +R (v +R -1R)) <R (C +R (w +R -1R)) ↔ y <R (C +R (w +R -1R))))
29	17, 19, 23	supsrlem3 4021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) <R (C +R (w +R -1R)) ↔ v <R w)
30	28, 29	syl5bbr 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (v <R w ↔ y <R (C +R (w +R -1R))))
31		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((C +R (v +R -1R)) <R z ↔ y <R z))
32	31	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((z ∈ A ∧ (C +R (v +R -1R)) <R z) ↔ (z ∈ A ∧ y <R z)))
33	32	anbi2d 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ (C +R (v +R -1R)) <R z)) ↔ (z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
34	33	biexdv 936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ (C +R (v +R -1R)) <R z)) ↔ ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
35		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (C +R (u +R -1R)) ∈ V
36		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → ((C +R (u +R -1R)) ∈ A ↔ z ∈ A))
37		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ u ∈ V
38	17, 18, 37	supsrlem4 4022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (u ∈ B ↔ (C +R (u +R -1R)) ∈ A)
39	36, 38	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → (u ∈ B ↔ z ∈ A))
40		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → ((C +R (v +R -1R)) <R (C +R (u +R -1R)) ↔ (C +R (v +R -1R)) <R z))
41	17, 19, 37	supsrlem3 4021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) <R (C +R (u +R -1R)) ↔ v <R u)
42	40, 41	syl5bbr 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → (v <R u ↔ (C +R (v +R -1R)) <R z))
43	39, 42	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → ((u ∈ B ∧ v <R u) ↔ (z ∈ A ∧ (C +R (v +R -1R)) <R z)))
44		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → ((C +R (u +R -1R)) ∈ R ↔ z ∈ R))
45	17	supsrlem1 4019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) ∈ R ↔ u ∈ R)
46	44, 45	syl5bbr 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C +R (u +R -1R)) = z → (u ∈ R ↔ z ∈ R))
47	17	supsrlem2 4020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ R ↔ ∃u(u ∈ R ∧ (C +R (u +R -1R)) = z))
48	35, 43, 46, 47	gencbvex 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)) ↔ ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ (C +R (v +R -1R)) <R z)))
49	34, 48	syl5bb 410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)) ↔ ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))
50	30, 49	imbi12d 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))) ↔ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))
51	27, 50	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))) ↔ ((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ∧ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
52		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((C +R (v +R -1R)) ∈ R ↔ y ∈ R))
53	17	supsrlem1 4019	. . . . . . . 8 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) ∈ R ↔ v ∈ R)
54	52, 53	syl5bbr 412	. . . . . . 7 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → (v ∈ R ↔ y ∈ R))
55	17	supsrlem2 4020	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R ↔ ∃v(v ∈ R ∧ (C +R (v +R -1R)) = y))
56	15, 51, 54, 55	gencbval 1373	. . . . . 6 ⊢ (∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))))) ↔ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ (C +R (w +R -1R)) <R y) ∧ (y <R (C +R (w +R -1R)) → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z))))))
57	14, 56	syl5bb 410	. . . . 5 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u))))) ↔ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
58		eleq1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((C +R (w +R -1R)) ∈ R ↔ x ∈ R))
59	17	supsrlem1 4019	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) ∈ R ↔ w ∈ R)
60	58, 59	syl5bbr 412	. . . . 5 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (w ∈ R ↔ x ∈ R))
61	17	supsrlem2 4020	. . . . 5 ⊢ (x ∈ R ↔ ∃w(w ∈ R ∧ (C +R (w +R -1R)) = x))
62	6, 57, 60, 61	gencbvex 1372	. . . 4 ⊢ (∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → ((v ∈ B → ¬ w <R v) ∧ (v <R w → ∃u(u ∈ R ∧ (u ∈ B ∧ v <R u)))))) ↔ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
63	5, 62	sylib 173	. . 3 ⊢ ((∃v(v ∈ B ∧ 0R <R v) ∧ ∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
64	10	imbi2d 464	. . . . . . 7 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((y ∈ A → y <R (C +R (w +R -1R))) ↔ (y ∈ A → y <R x)))
65	64	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → ((y ∈ R → (y ∈ A → y <R (C +R (w +R -1R)))) ↔ (y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))))
66	65	bialdv 935	. . . . 5 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R (C +R (w +R -1R)))) ↔ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))))
67	21, 30	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ ((C +R (v +R -1R)) = y → ((v ∈ B → v <R w) ↔ (y ∈ A → y <R (C +R (w +R -1R)))))
68	15, 67, 54, 55	gencbval 1373	. . . . 5 ⊢ (∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)) ↔ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R (C +R (w +R -1R)))))
69	66, 68	syl5bb 410	. . . 4 ⊢ ((C +R (w +R -1R)) = x → (∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w)) ↔ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))))
70	6, 69, 60, 61	gencbvex 1372	. . 3 ⊢ (∃w(w ∈ R ∧ ∀v(v ∈ R → (v ∈ B → v <R w))) ↔ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x))))
71	63, 70	sylan2br 348	. 2 ⊢ ((∃v(v ∈ B ∧ 0R <R v) ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))
72	17, 18	supsrlem5 4023	. 2 ⊢ (C ∈ A → ∃v(v ∈ B ∧ 0R <R v))
73	71, 72	sylan 343	1 ⊢ ((C ∈ A ∧ ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → (y ∈ A → y <R x)))) → ∃x(x ∈ R ∧ ∀y(y ∈ R → ((y ∈ A → ¬ x <R y) ∧ (y <R x → ∃z(z ∈ R ∧ (z ∈ A ∧ y <R z)))))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Rcnr 3787  0_Rc0r 3788  -1_Rcm1r 3790   +_R cplr 3791   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  supsr 4025

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967

metamath.org