Theorem tfis3 2248

Description: Transfinite Induction Schema with implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
tfis3.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
tfis3.2	⊢ (x = A → (φ ↔ χ))
tfis3.3	⊢ (x ∈ On → (∀y ∈ x ψ → φ))

Assertion

Ref	Expression
tfis3	⊢ (A ∈ On → χ)

Distinct variable group(s):   ψ,x   φ,y   χ,x   x,A   x,y

Proof of Theorem tfis3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfis3.2	. 2 ⊢ (x = A → (φ ↔ χ))
2		tfis3.1	. . 3 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
3		tfis3.3	. . 3 ⊢ (x ∈ On → (∀y ∈ x ψ → φ))
4	2, 3	tfis2 2247	. 2 ⊢ (x ∈ On → φ)
5	1, 4	vtoclga 1387	1 ⊢ (A ∈ On → χ)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Oncon0 2199

This theorem is referenced by:  tfinds 2401  rankonid 3538  alephle 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203

metamath.org