Theorem tfrlem5 2953

Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains.

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlem.1	⊢ A = {f∣∃x ∈ On (f Fn x ∧ ∀y ∈ x (f ‘y) = (G ‘(f ↾ y)))}
tfrlem.2	⊢ F = ∪A

Assertion

Ref	Expression
tfrlem5	⊢ ((g ∈ A ∧ h ∈ A) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))

Distinct variable group(s):   x,y,f,g,h,A   x,v,u,F,y,f   x,G,y,f,g,h   v,g,h,u

Proof of Theorem tfrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlem.1	. . . . . 6 ⊢ A = {f∣∃x ∈ On (f Fn x ∧ ∀y ∈ x (f ‘y) = (G ‘(f ↾ y)))}
2	1	tfrlem3 2951	. . . . 5 ⊢ A = {g∣∃z ∈ On (g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)))}
3	2	cleqabi 1176	. . . 4 ⊢ (g ∈ A ↔ ∃z ∈ On (g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))))
4	1	tfrlem3 2951	. . . . 5 ⊢ A = {h∣∃w ∈ On (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))}
5	4	cleqabi 1176	. . . 4 ⊢ (h ∈ A ↔ ∃w ∈ On (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
6	3, 5	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((g ∈ A ∧ h ∈ A) ↔ (∃z ∈ On (g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ ∃w ∈ On (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
7		reeanv 1316	. . 3 ⊢ (∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) ↔ (∃z ∈ On (g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ ∃w ∈ On (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
8	6, 7	bitr4 154	. 2 ⊢ ((g ∈ A ∧ h ∈ A) ↔ ∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
9		2elresin 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ ((g Fn z ∧ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) ↔ (⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ∧ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w)))))
10		tfrlem2 2950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((g ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w) ∧ (h ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w)) → ((⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ∧ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w))) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
11		fnresin1 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (g Fn z → (g ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w))
12		fnresin2 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h Fn w → (h ↾ (z ∩ w)) Fn (z ∩ w))
13	10, 11, 12	syl2an 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((g Fn z ∧ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ (g ↾ (z ∩ w)) ∧ ⟨x, v⟩ ∈ (h ↾ (z ∩ w))) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
14	9, 13	sylbid 178	. . . . . . . 8 ⊢ ((g Fn z ∧ h Fn w) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → ((z ∩ w) ∈ On → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → u = v))))
15	14	com24 37	. . . . . . 7 ⊢ ((g Fn z ∧ h Fn w) → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → ((z ∩ w) ∈ On → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))))
16	15	com3r 35	. . . . . 6 ⊢ ((z ∩ w) ∈ On → ((g Fn z ∧ h Fn w) → (∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))))
17	16	imp32 281	. . . . 5 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ ((g Fn z ∧ h Fn w) ∧ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
18		onin 2229	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ On ∧ w ∈ On) → (z ∩ w) ∈ On)
19		r19.26m 1291	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) ↔ (∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
20		prth 429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((y ∈ z ∧ y ∈ w) → ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
21		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → y ∈ (z ∩ w))
22		elin 1635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) ↔ (y ∈ z ∧ y ∈ w))
23	21, 22	sylib 173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (y ∈ z ∧ y ∈ w))
24	20, 23	syl5 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
25		onelsst 2255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → y ⊆ (z ∩ w)))
26	25	impac 304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (y ⊆ (z ∩ w) ∧ y ∈ (z ∩ w)))
27		fvres 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) → ((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (g ‘y))
28		resabs1 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → ((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y) = (g ↾ y))
29	28	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) = (G ‘(g ↾ y)))
30	27, 29	cleqan12rd 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ↔ (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))))
31		fvres 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ∈ (z ∩ w) → ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (h ‘y))
32		resabs1 2592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → ((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y) = (h ↾ y))
33	32	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ (z ∩ w) → (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) = (G ‘(h ↾ y)))
34	31, 33	cleqan12rd 1117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ↔ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))
35	30, 34	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ⊆ (z ∩ w) ∧ y ∈ (z ∩ w)) → ((((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))) ↔ ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
36	26, 35	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → ((((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))) ↔ ((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))))
37	36	bicomd 399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))) ↔ (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))
38	24, 37	mpbidi 447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → (((z ∩ w) ∈ On ∧ y ∈ (z ∩ w)) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))
39	38	exp3a 292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
40	39	19.20i 691	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((y ∈ z → (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (y ∈ w → (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
41	19, 40	sylbir 176	. . . . . . 7 ⊢ ((∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))) → ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y))))))
42	41	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ (((g Fn z ∧ h Fn w) ∧ (∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y)) ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((g Fn z ∧ h Fn w) ∧ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))))
43	42	an4s 390	. . . . 5 ⊢ (((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((g Fn z ∧ h Fn w) ∧ ∀y((z ∩ w) ∈ On → (y ∈ (z ∩ w) → (((g ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((g ↾ (z ∩ w)) ↾ y)) ∧ ((h ↾ (z ∩ w)) ‘y) = (G ‘((h ↾ (z ∩ w)) ↾ y)))))))
44	17, 18, 43	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((z ∈ On ∧ w ∈ On) ∧ ((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y))))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
45	44	exp 291	. . 3 ⊢ ((z ∈ On ∧ w ∈ On) → (((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v)))
46	45	r19.23aivv 1287	. 2 ⊢ (∃z ∈ On ∃w ∈ On ((g Fn z ∧ ∀y ∈ z (g ‘y) = (G ‘(g ↾ y))) ∧ (h Fn w ∧ ∀y ∈ w (h ‘y) = (G ‘(h ↾ y)))) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))
47	8, 46	sylbi 174	1 ⊢ ((g ∈ A ∧ h ∈ A) → ((⟨x, u⟩ ∈ g ∧ ⟨x, v⟩ ∈ h) → u = v))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919  Oncon0 2199   ↾ cres 2412   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422

This theorem is referenced by:  tfrlem7 2955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438

metamath.org