Theorem th3qcor 3252

Description: Corollary of Theorem 3Q of [Enderton] p. 60.

Hypotheses

Ref	Expression
th3q.1	⊢ R ∈ V
th3q.2	⊢ Er R
th3q.3	⊢ dom R = (S × S)
th3q.4	⊢ ((((w ∈ S ∧ v ∈ S) ∧ (u ∈ S ∧ t ∈ S)) ∧ ((s ∈ S ∧ f ∈ S) ∧ (g ∈ S ∧ h ∈ S))) → ((⟨w, v⟩R⟨u, t⟩ ∧ ⟨s, f⟩R⟨g, h⟩) → (⟨w, v⟩F⟨s, f⟩)R(⟨u, t⟩F⟨g, h⟩)))
th3q.5	⊢ G = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))}

Assertion

Ref	Expression
th3qcor	⊢ Fun G

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h,R   x,S,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h   x,F,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h   x,G,y,z,w,v,u,t,s,f,g,h

Proof of Theorem th3qcor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		th3q.1	. . . . 5 ⊢ R ∈ V
2		th3q.2	. . . . 5 ⊢ Er R
3		th3q.3	. . . . 5 ⊢ dom R = (S × S)
4		th3q.4	. . . . 5 ⊢ ((((w ∈ S ∧ v ∈ S) ∧ (u ∈ S ∧ t ∈ S)) ∧ ((s ∈ S ∧ f ∈ S) ∧ (g ∈ S ∧ h ∈ S))) → ((⟨w, v⟩R⟨u, t⟩ ∧ ⟨s, f⟩R⟨g, h⟩) → (⟨w, v⟩F⟨s, f⟩)R(⟨u, t⟩F⟨g, h⟩)))
5	1, 2, 3, 4	th3qlem2 3251	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) → ∃*z∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))
6		moanimv 1052	. . . 4 ⊢ (∃*z((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R)) ↔ ((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) → ∃*z∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R)))
7	5, 6	mpbir 165	. . 3 ⊢ ∃*z((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))
8	7	funoprab 3037	. 2 ⊢ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))}
9		th3q.5	. . 3 ⊢ G = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))}
10		funeq 2683	. . 3 ⊢ (G = {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))} → (Fun G ↔ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))}))
11	9, 10	ax-mp 6	. 2 ⊢ (Fun G ↔ Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩∣((x ∈ ((S × S) / R) ∧ y ∈ ((S × S) / R)) ∧ ∃w∃v∃u∃t((x = [⟨w, v⟩]R ∧ y = [⟨u, t⟩]R) ∧ z = [(⟨w, v⟩F⟨u, t⟩)]R))})
12	8, 11	mpbir 165	1 ⊢ Fun G

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  ∃*wmo 1008   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054   × cxp 2408  dom cdm 2410  Fun wfun 2416  (class class class)co 3001  {copab2 3002  Er wer 3197  [cec 3198   / cqs 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205

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