Theorem unblem1 3431

Description: Lemma for unbnn 3435. After removing the successor of an element from an unbounded set of natural numbers, the intersection of the result belongs to the original unbounded set.

Assertion

Ref	Expression
unblem1	⊢ (((B ⊆ ω ∧ ∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y) ∧ A ∈ B) → ∩(B ∖ suc A) ∈ B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem unblem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsson 2377	. . . . . 6 ⊢ ω ⊆ On
2		sstr 1511	. . . . . 6 ⊢ ((B ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → B ⊆ On)
3	1, 2	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ ω → B ⊆ On)
4		difss 1596	. . . . . 6 ⊢ (B ∖ suc A) ⊆ B
5		sstr 1511	. . . . . 6 ⊢ (((B ∖ suc A) ⊆ B ∧ B ⊆ On) → (B ∖ suc A) ⊆ On)
6	4, 5	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ On → (B ∖ suc A) ⊆ On)
7	3, 6	syl 12	. . . 4 ⊢ (B ⊆ ω → (B ∖ suc A) ⊆ On)
8	7	ad2antll 320	. . 3 ⊢ (((B ⊆ ω ∧ ∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y) ∧ A ∈ B) → (B ∖ suc A) ⊆ On)
9		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ B ∧ suc A ∈ y) → y ∈ B)
10	9	a1i 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ⊆ ω → ((y ∈ B ∧ suc A ∈ y) → y ∈ B))
11		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ⊆ ω → (y ∈ B → y ∈ ω))
12		nnord 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ω → Ord y)
13		ordn2lp 2219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Ord y → ¬ (y ∈ suc A ∧ suc A ∈ y))
14		imnan 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ suc A → ¬ suc A ∈ y) ↔ ¬ (y ∈ suc A ∧ suc A ∈ y))
15	13, 14	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Ord y → (y ∈ suc A → ¬ suc A ∈ y))
16	15	con2d 83	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Ord y → (suc A ∈ y → ¬ y ∈ suc A))
17	12, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ω → (suc A ∈ y → ¬ y ∈ suc A))
18	11, 17	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B ⊆ ω → (y ∈ B → (suc A ∈ y → ¬ y ∈ suc A)))
19	18	imp3a 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ⊆ ω → ((y ∈ B ∧ suc A ∈ y) → ¬ y ∈ suc A))
20	10, 19	jcad 455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ⊆ ω → ((y ∈ B ∧ suc A ∈ y) → (y ∈ B ∧ ¬ y ∈ suc A)))
21		eldif 1496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ (B ∖ suc A) ↔ (y ∈ B ∧ ¬ y ∈ suc A))
22		n0i 1712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ (B ∖ suc A) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅)
23	21, 22	sylbir 176	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ B ∧ ¬ y ∈ suc A) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅)
24	20, 23	syl6 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ⊆ ω → ((y ∈ B ∧ suc A ∈ y) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅))
25	24	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (B ⊆ ω → (y ∈ B → (suc A ∈ y → ¬ (B ∖ suc A) = ∅)))
26	25	r19.23adv 1286	. . . . . . 7 ⊢ (B ⊆ ω → (∃y ∈ B suc A ∈ y → ¬ (B ∖ suc A) = ∅))
27		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = suc A → (x ∈ y ↔ suc A ∈ y))
28	27	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = suc A → (∃y ∈ B x ∈ y ↔ ∃y ∈ B suc A ∈ y))
29	28	rcla4v 1402	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y → (suc A ∈ ω → ∃y ∈ B suc A ∈ y))
30	29	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y ∧ suc A ∈ ω) → ∃y ∈ B suc A ∈ y)
31	26, 30	syl5 22	. . . . . 6 ⊢ (B ⊆ ω → ((∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y ∧ suc A ∈ ω) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅))
32		ssel 1502	. . . . . . 7 ⊢ (B ⊆ ω → (A ∈ B → A ∈ ω))
33		peano2b 2388	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ω ↔ suc A ∈ ω)
34	32, 33	syl6ib 185	. . . . . 6 ⊢ (B ⊆ ω → (A ∈ B → suc A ∈ ω))
35	31, 34	sylan2d 353	. . . . 5 ⊢ (B ⊆ ω → ((∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y ∧ A ∈ B) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅))
36	35	exp3a 292	. . . 4 ⊢ (B ⊆ ω → (∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y → (A ∈ B → ¬ (B ∖ suc A) = ∅)))
37	36	imp31 280	. . 3 ⊢ (((B ⊆ ω ∧ ∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y) ∧ A ∈ B) → ¬ (B ∖ suc A) = ∅)
38	8, 37	jca 236	. 2 ⊢ (((B ⊆ ω ∧ ∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y) ∧ A ∈ B) → ((B ∖ suc A) ⊆ On ∧ ¬ (B ∖ suc A) = ∅))
39		onint 2261	. 2 ⊢ (((B ∖ suc A) ⊆ On ∧ ¬ (B ∖ suc A) = ∅) → ∩(B ∖ suc A) ∈ (B ∖ suc A))
40		eldifi 1591	. 2 ⊢ (∩(B ∖ suc A) ∈ (B ∖ suc A) → ∩(B ∖ suc A) ∈ B)
41	38, 39, 40	3syl 21	1 ⊢ (((B ⊆ ω ∧ ∀x ∈ ω ∃y ∈ B x ∈ y) ∧ A ∈ B) → ∩(B ∖ suc A) ∈ B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  unblem2 3432  unblem3 3433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org