Theorem unblem2 3432

Description: Lemma for unbnn 3435. The value of the function F belongs to the unbounded set of natural numbers A.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	⊢ (w ∈ F → ∀x w ∈ F)
unblem.2	⊢ F = (rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
unblem2	⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ A))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (z = ∅ → (F ‘z) = (F ‘∅))
2	1	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (z = ∅ → ((F ‘z) ∈ A ↔ (F ‘∅) ∈ A))
3		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (z = u → (F ‘z) = (F ‘u))
4	3	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (z = u → ((F ‘z) ∈ A ↔ (F ‘u) ∈ A))
5		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (z = suc u → (F ‘z) = (F ‘suc u))
6	5	eleq1d 1155	. . 3 ⊢ (z = suc u → ((F ‘z) ∈ A ↔ (F ‘suc u) ∈ A))
7		onint 2261	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ On ∧ ¬ A = ∅) → ∩A ∈ A)
8		omsson 2377	. . . . . 6 ⊢ ω ⊆ On
9		sstr 1511	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → A ⊆ On)
10	8, 9	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ω → A ⊆ On)
11		peano1 2390	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
12		eleq1 1149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = ∅ → (w ∈ v ↔ ∅ ∈ v))
13	12	birexdv 1220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w = ∅ → (∃v ∈ A w ∈ v ↔ ∃v ∈ A ∅ ∈ v))
14	13	rcla4v 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v → (∅ ∈ ω → ∃v ∈ A ∅ ∈ v))
15	11, 14	mpi 44	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v → ∃v ∈ A ∅ ∈ v)
16		df-rex 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v ∈ A ∅ ∈ v ↔ ∃v(v ∈ A ∧ ∅ ∈ v))
17	15, 16	sylib 173	. . . . . . 7 ⊢ (∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v → ∃v(v ∈ A ∧ ∅ ∈ v))
18		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ A ∧ ∅ ∈ v) → v ∈ A)
19	18	19.22i 723	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(v ∈ A ∧ ∅ ∈ v) → ∃v v ∈ A)
20	17, 19	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v → ∃v v ∈ A)
21		n0 1714	. . . . . 6 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃v v ∈ A)
22	20, 21	sylibr 175	. . . . 5 ⊢ (∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v → ¬ A = ∅)
23	7, 10, 22	syl2an 349	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → ∩A ∈ A)
24		frzer 2990	. . . . . . 7 ⊢ (∩A ∈ A → ((rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω) ‘∅) = ∩A)
25		unblem.2	. . . . . . . 8 ⊢ F = (rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω)
26	25	fveq1i 2833	. . . . . . 7 ⊢ (F ‘∅) = ((rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω) ‘∅)
27	24, 26	syl5req 1137	. . . . . 6 ⊢ (∩A ∈ A → ∩A = (F ‘∅))
28	27	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (∩A ∈ A → (∩A ∈ A ↔ (F ‘∅) ∈ A))
29	28	ibi 449	. . . 4 ⊢ (∩A ∈ A → (F ‘∅) ∈ A)
30	23, 29	syl 12	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (F ‘∅) ∈ A)
31		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ ∩A → ∀x w ∈ ∩A)
32		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ u → ∀x w ∈ u)
33		ax-17 925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ A → ∀x w ∈ A)
34		unblem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w ∈ F → ∀x w ∈ F)
35	34, 32	hbfv 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w ∈ (F ‘u) → ∀x w ∈ (F ‘u))
36	35	hbsuc 2294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ suc (F ‘u) → ∀x w ∈ suc (F ‘u))
37	33, 36	hbdif 1590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ (A ∖ suc (F ‘u)) → ∀x w ∈ (A ∖ suc (F ‘u)))
38	37	hbint 1975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘u)) → ∀x w ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘u)))
39		suceq 2288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (F ‘u) → suc x = suc (F ‘u))
40	39	difeq2d 1588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = (F ‘u) → (A ∖ suc x) = (A ∖ suc (F ‘u)))
41	40	inteqd 1970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (F ‘u) → ∩(A ∖ suc x) = ∩(A ∖ suc (F ‘u)))
42	31, 32, 38, 25, 41	frsucopab 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ∈ ω ∧ ∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A) → (F ‘suc u) = ∩(A ∖ suc (F ‘u)))
43	42	cleqcomd 1106	. . . . . . . 8 ⊢ ((u ∈ ω ∧ ∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A) → ∩(A ∖ suc (F ‘u)) = (F ‘suc u))
44	43	eleq1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((u ∈ ω ∧ ∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A) → (∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A ↔ (F ‘suc u) ∈ A))
45	44	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (u ∈ ω → (∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A → (∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A ↔ (F ‘suc u) ∈ A)))
46	45	ibd 451	. . . . 5 ⊢ (u ∈ ω → (∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A → (F ‘suc u) ∈ A))
47		unblem1 3431	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ (F ‘u) ∈ A) → ∩(A ∖ suc (F ‘u)) ∈ A)
48	46, 47	syl5 22	. . . 4 ⊢ (u ∈ ω → (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ (F ‘u) ∈ A) → (F ‘suc u) ∈ A))
49	48	exp3a 292	. . 3 ⊢ (u ∈ ω → ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → ((F ‘u) ∈ A → (F ‘suc u) ∈ A)))
50	2, 4, 6, 30, 49	finds2 2399	. 2 ⊢ (z ∈ ω → ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (F ‘z) ∈ A))
51	50	com12 13	1 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372   ↾ cres 2412   ‘cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  unblem3 3433  unblem4 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970

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