Theorem unblem3 3433

Description: Lemma for unbnn 3435. The value of the function F is less than its value at a successor.

Hypotheses

Ref	Expression
unblem.1	⊢ (w ∈ F → ∀x w ∈ F)
unblem.2	⊢ F = (rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
unblem3	⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ (F ‘suc z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,A   z,F,w,v

Proof of Theorem unblem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unblem.1	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ F → ∀x w ∈ F)
2		unblem.2	. . . . . . 7 ⊢ F = (rec({⟨x, y⟩∣y = ∩(A ∖ suc x)}, ∩A) ↾ ω)
3	1, 2	unblem2 3432	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ A))
4	3	imp 277	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → (F ‘z) ∈ A)
5		omsson 2377	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ On
6		sstr 1511	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → A ⊆ On)
7	5, 6	mpan2 519	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ω → A ⊆ On)
8		ssel 1502	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ On → ((F ‘z) ∈ A → (F ‘z) ∈ On))
9	8	anc2li 250	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ On → ((F ‘z) ∈ A → (A ⊆ On ∧ (F ‘z) ∈ On)))
10	7, 9	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ω → ((F ‘z) ∈ A → (A ⊆ On ∧ (F ‘z) ∈ On)))
11	10	ad2antll 320	. . . . 5 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → ((F ‘z) ∈ A → (A ⊆ On ∧ (F ‘z) ∈ On)))
12	4, 11	mpd 46	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → (A ⊆ On ∧ (F ‘z) ∈ On))
13		onmindif 2312	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ On ∧ (F ‘z) ∈ On) → (F ‘z) ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
14	12, 13	syl 12	. . 3 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → (F ‘z) ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
15		unblem1 3431	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ (F ‘z) ∈ A) → ∩(A ∖ suc (F ‘z)) ∈ A)
16	15	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → ((F ‘z) ∈ A → ∩(A ∖ suc (F ‘z)) ∈ A))
17	3, 16	syld 27	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → ∩(A ∖ suc (F ‘z)) ∈ A))
18		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ ∩A → ∀x w ∈ ∩A)
19		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ z → ∀x w ∈ z)
20		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ A → ∀x w ∈ A)
21	1, 19	hbfv 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ (F ‘z) → ∀x w ∈ (F ‘z))
22	21	hbsuc 2294	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ suc (F ‘z) → ∀x w ∈ suc (F ‘z))
23	20, 22	hbdif 1590	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ (A ∖ suc (F ‘z)) → ∀x w ∈ (A ∖ suc (F ‘z)))
24	23	hbint 1975	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘z)) → ∀x w ∈ ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
25		suceq 2288	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (F ‘z) → suc x = suc (F ‘z))
26	25	difeq2d 1588	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (F ‘z) → (A ∖ suc x) = (A ∖ suc (F ‘z)))
27	26	inteqd 1970	. . . . . . 7 ⊢ (x = (F ‘z) → ∩(A ∖ suc x) = ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
28	18, 19, 24, 2, 27	frsucopab 2992	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ω ∧ ∩(A ∖ suc (F ‘z)) ∈ A) → (F ‘suc z) = ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
29	28	exp 291	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ω → (∩(A ∖ suc (F ‘z)) ∈ A → (F ‘suc z) = ∩(A ∖ suc (F ‘z))))
30	17, 29	sylcom 51	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘suc z) = ∩(A ∖ suc (F ‘z))))
31	30	imp 277	. . 3 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → (F ‘suc z) = ∩(A ∖ suc (F ‘z)))
32	14, 31	eleqtrrd 1166	. 2 ⊢ (((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) ∧ z ∈ ω) → (F ‘z) ∈ (F ‘suc z))
33	32	exp 291	1 ⊢ ((A ⊆ ω ∧ ∀w ∈ ω ∃v ∈ A w ∈ v) → (z ∈ ω → (F ‘z) ∈ (F ‘suc z)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  ∩cint 1965  {copab 2055  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372   ↾ cres 2412   ‘cfv 2422  reccrdg 2969

This theorem is referenced by:  unblem4 3434

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970

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