Theorem uncdadom 3718

Description: Cardinal addition dominates union.

Hypotheses

Ref	Expression
cdaval.1	⊢ A ∈ V
cdaval.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	⊢ (A ∪ B) ≼ (A +c B)

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdaval.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
2		0ex 1745	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
3	1, 2	xpsnen 3339	. . . . . 6 ⊢ (A × {∅}) ≈ A
4	1, 3	ensymi 3318	. . . . 5 ⊢ A ≈ (A × {∅})
5		endom 3289	. . . . 5 ⊢ (A ≈ (A × {∅}) → A ≼ (A × {∅}))
6	4, 5	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ A ≼ (A × {∅})
7		cdaval.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
8		1o 3109	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ On
9	8	elisseti 1355	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
10	7, 9	xpsnen 3339	. . . . . 6 ⊢ (B × {1o}) ≈ B
11	7, 10	ensymi 3318	. . . . 5 ⊢ B ≈ (B × {1o})
12		endom 3289	. . . . 5 ⊢ (B ≈ (B × {1o}) → B ≼ (B × {1o}))
13	11, 12	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ B ≼ (B × {1o})
14	6, 13	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (A ≼ (A × {∅}) ∧ B ≼ (B × {1o}))
15		0ne1oOLD 3113	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ = 1o
16		xpsndisj 2655	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ = 1o → ((A × {∅}) ∩ (B × {1o})) = ∅)
17	15, 16	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((A × {∅}) ∩ (B × {1o})) = ∅
18		p0ex 1885	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
19	1, 18	xpex 2488	. . . 4 ⊢ (A × {∅}) ∈ V
20		snex 1859	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
21	7, 20	xpex 2488	. . . 4 ⊢ (B × {1o}) ∈ V
22	19, 7, 21	undom 3342	. . 3 ⊢ (((A ≼ (A × {∅}) ∧ B ≼ (B × {1o})) ∧ ((A × {∅}) ∩ (B × {1o})) = ∅) → (A ∪ B) ≼ ((A × {∅}) ∪ (B × {1o})))
23	14, 17, 22	mp2an 520	. 2 ⊢ (A ∪ B) ≼ ((A × {∅}) ∪ (B × {1o}))
24	1, 7	cdaval 3717	. 2 ⊢ (A +c B) = ((A × {∅}) ∪ (B × {1o}))
25	23, 24	breqtrr 2082	1 ⊢ (A ∪ B) ≼ (A +c B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  Oncon0 2199   × cxp 2408  (class class class)co 3001  1_oc1o 3099   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   +_c ccda 3714

This theorem is referenced by:  cdadom3 3729  infunabs 4946  infdif 4948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-cda 3715

metamath.org