Theorem unfi 3441

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi	⊢ ((∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃x ∈ ω B ≈ x) → ∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem unfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeanv 1316	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ω ∃y ∈ ω (A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ y) ↔ (∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃y ∈ ω (B ∖ A) ≈ y))
2		undif2 1762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∪ (B ∖ A)) = (A ∪ B)
3	2	a1i 7	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (A ∪ (B ∖ A)) = (A ∪ B))
4		nnaword1 3186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → x ⊆ (x +o y))
5		ssundif 1764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ⊆ (x +o y) ↔ (x ∪ ((x +o y) ∖ x)) = (x +o y))
6	4, 5	sylib 173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (x ∪ ((x +o y) ∖ x)) = (x +o y))
7	3, 6	breq12d 2073	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ∪ (B ∖ A)) ≈ (x ∪ ((x +o y) ∖ x)) ↔ (A ∪ B) ≈ (x +o y)))
8		difdisj 1758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∩ (B ∖ A)) = ∅
9		difdisj 1758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∩ ((x +o y) ∖ x)) = ∅
10	8, 9	pm3.2i 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∩ (B ∖ A)) = ∅ ∧ (x ∩ ((x +o y) ∖ x)) = ∅)
11		unen 3338	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x)) ∧ ((A ∩ (B ∖ A)) = ∅ ∧ (x ∩ ((x +o y) ∖ x)) = ∅)) → (A ∪ (B ∖ A)) ≈ (x ∪ ((x +o y) ∖ x)))
12	10, 11	mpan2 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x)) → (A ∪ (B ∖ A)) ≈ (x ∪ ((x +o y) ∖ x)))
13	7, 12	syl5bi 183	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x)) → (A ∪ B) ≈ (x +o y)))
14		unfilem3 3440	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → y ≈ ((x +o y) ∖ x))
15		entrt 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((B ∖ A) ≈ y ∧ y ≈ ((x +o y) ∖ x)) → (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x))
16	15	ancoms 334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ≈ ((x +o y) ∖ x) ∧ (B ∖ A) ≈ y) → (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x))
17	16	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (y ≈ ((x +o y) ∖ x) → ((B ∖ A) ≈ y → (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x)))
18	14, 17	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((B ∖ A) ≈ y → (B ∖ A) ≈ ((x +o y) ∖ x)))
19	13, 18	sylan2d 353	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ y) → (A ∪ B) ≈ (x +o y)))
20		nnacl 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → (x +o y) ∈ ω)
21		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = (x +o y) → ((A ∪ B) ≈ z ↔ (A ∪ B) ≈ (x +o y)))
22	21	rcla4ev 1403	. . . . . . . 8 ⊢ (((x +o y) ∈ ω ∧ (A ∪ B) ≈ (x +o y)) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z)
23	22	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ ((x +o y) ∈ ω → ((A ∪ B) ≈ (x +o y) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z))
24	20, 23	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ∪ B) ≈ (x +o y) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z))
25	19, 24	syld 27	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ω ∧ y ∈ ω) → ((A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ y) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z))
26	25	r19.23aivv 1287	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ω ∃y ∈ ω (A ≈ x ∧ (B ∖ A) ≈ y) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z)
27	1, 26	sylbir 176	. . 3 ⊢ ((∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃y ∈ ω (B ∖ A) ≈ y) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z)
28		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = y → (B ≈ x ↔ B ≈ y))
29	28	cbvrexv 1334	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ω B ≈ x ↔ ∃y ∈ ω B ≈ y)
30		difss 1596	. . . . 5 ⊢ (B ∖ A) ⊆ B
31		ssfi 3430	. . . . 5 ⊢ ((∃y ∈ ω B ≈ y ∧ (B ∖ A) ⊆ B) → ∃y ∈ ω (B ∖ A) ≈ y)
32	30, 31	mpan2 519	. . . 4 ⊢ (∃y ∈ ω B ≈ y → ∃y ∈ ω (B ∖ A) ≈ y)
33	29, 32	sylbi 174	. . 3 ⊢ (∃x ∈ ω B ≈ x → ∃y ∈ ω (B ∖ A) ≈ y)
34	27, 33	sylan2 346	. 2 ⊢ ((∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃x ∈ ω B ≈ x) → ∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z)
35		breq2 2066	. . 3 ⊢ (z = x → ((A ∪ B) ≈ z ↔ (A ∪ B) ≈ x))
36	35	cbvrexv 1334	. 2 ⊢ (∃z ∈ ω (A ∪ B) ≈ z ↔ ∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x)
37	34, 36	sylib 173	1 ⊢ ((∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃x ∈ ω B ≈ x) → ∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  unfi2 3442  prfi 3444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-er 3200  df-en 3274

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