Theorem unfi2 3442

Description: The union of two finite sets is finite. Part of Corollary 6K of [Enderton] p. 144.

Assertion

Ref	Expression
unfi2	⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → (A ∪ B) ≺ ω)

Proof of Theorem unfi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi 3441	. . . . 5 ⊢ ((∃x ∈ ω A ≈ x ∧ ∃x ∈ ω B ≈ x) → ∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x)
2		isfinite2 3437	. . . . 5 ⊢ (A ≺ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x)
3		isfinite2 3437	. . . . 5 ⊢ (B ≺ ω → ∃x ∈ ω B ≈ x)
4	1, 2, 3	syl2an 349	. . . 4 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → ∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x)
5		isfinite1 3425	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ω (A ∪ B) ≈ x → ((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ (A ∪ B)))
6	4, 5	syl 12	. . 3 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → ((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ (A ∪ B)))
7		sdomex 3315	. . . . . . . 8 ⊢ (A ≺ ω → (A ∈ V ∧ ω ∈ V))
8	7	pm3.27d 262	. . . . . . 7 ⊢ (A ≺ ω → ω ∈ V)
9		ensymg 3316	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → ((A ∪ B) ≈ ω → ω ≈ (A ∪ B)))
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (A ≺ ω → ((A ∪ B) ≈ ω → ω ≈ (A ∪ B)))
11	10	con3d 87	. . . . 5 ⊢ (A ≺ ω → (¬ ω ≈ (A ∪ B) → ¬ (A ∪ B) ≈ ω))
12	11	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → (¬ ω ≈ (A ∪ B) → ¬ (A ∪ B) ≈ ω))
13	12	anim2d 433	. . 3 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → (((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ (A ∪ B)) → ((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ (A ∪ B) ≈ ω)))
14	6, 13	mpd 46	. 2 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → ((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ (A ∪ B) ≈ ω))
15		brsdom 3286	. 2 ⊢ ((A ∪ B) ≺ ω ↔ ((A ∪ B) ≼ ω ∧ ¬ (A ∪ B) ≈ ω))
16	14, 15	sylibr 175	1 ⊢ ((A ≺ ω ∧ B ≺ ω) → (A ∪ B) ≺ ω)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   class class class wbr 2054  ωcom 2372   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  cdafi 3730

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org