Theorem uniin 1935

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
uniin	⊢ ∪(A ∩ B) ⊆ (∪A ∩ ∪B)

Proof of Theorem uniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40 773	. . 3 ⊢ (∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ (x ∈ y ∧ y ∈ B)) → (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
2		eluni 1922	. . . 4 ⊢ (x ∈ ∪(A ∩ B) ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∩ B)))
3		elin 1635	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∩ B) ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B))
4	3	anbi2i 367	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∩ B)) ↔ (x ∈ y ∧ (y ∈ A ∧ y ∈ B)))
5		anandi 392	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ (y ∈ A ∧ y ∈ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
6	4, 5	bitr 151	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∩ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
7	6	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∩ B)) ↔ ∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
8	2, 7	bitr 151	. . 3 ⊢ (x ∈ ∪(A ∩ B) ↔ ∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
9		elin 1635	. . . 4 ⊢ (x ∈ (∪A ∩ ∪B) ↔ (x ∈ ∪A ∧ x ∈ ∪B))
10		eluni 1922	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪A ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A))
11		eluni 1922	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪B ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B))
12	10, 11	anbi12i 369	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ∪A ∧ x ∈ ∪B) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
13	9, 12	bitr 151	. . 3 ⊢ (x ∈ (∪A ∩ ∪B) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∧ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
14	1, 8, 13	3imtr4 192	. 2 ⊢ (x ∈ ∪(A ∩ B) → x ∈ (∪A ∩ ∪B))
15	14	ssriv 1508	1 ⊢ ∪(A ∩ B) ⊆ (∪A ∩ ∪B)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920

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