Theorem unissb 1941

Description: Relationship involving membership, subset, and union. Exercise 5 of [Enderton] p. 26 and its converse.

Assertion

Ref	Expression
unissb	⊢ (∪A ⊆ B ↔ ∀x ∈ A x ⊆ B)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem unissb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 1497	. . 3 ⊢ (∪A ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ ∪A → y ∈ B))
2		eluni 1922	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪A ↔ ∃x(y ∈ x ∧ x ∈ A))
3	2	imbi1i 161	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ∪A → y ∈ B) ↔ (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B))
4		19.23v 950	. . . . 5 ⊢ (∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ (∃x(y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B))
5	3, 4	bitr4 154	. . . 4 ⊢ ((y ∈ ∪A → y ∈ B) ↔ ∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B))
6	5	bial 695	. . 3 ⊢ (∀y(y ∈ ∪A → y ∈ B) ↔ ∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B))
7		alcom 715	. . . 4 ⊢ (∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ ∀x∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B))
8		19.21v 942	. . . . . 6 ⊢ (∀y(x ∈ A → (y ∈ x → y ∈ B)) ↔ (x ∈ A → ∀y(y ∈ x → y ∈ B)))
9		impexp 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ (y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ B)))
10		bi2.04 141	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ B)) ↔ (x ∈ A → (y ∈ x → y ∈ B)))
11	9, 10	bitr 151	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ (x ∈ A → (y ∈ x → y ∈ B)))
12	11	bial 695	. . . . . 6 ⊢ (∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ ∀y(x ∈ A → (y ∈ x → y ∈ B)))
13		dfss2 1497	. . . . . . 7 ⊢ (x ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ x → y ∈ B))
14	13	imbi2i 160	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A → x ⊆ B) ↔ (x ∈ A → ∀y(y ∈ x → y ∈ B)))
15	8, 12, 14	3bitr4 158	. . . . 5 ⊢ (∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ (x ∈ A → x ⊆ B))
16	15	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀x∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → x ⊆ B))
17	7, 16	bitr 151	. . 3 ⊢ (∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ B) ↔ ∀x(x ∈ A → x ⊆ B))
18	1, 6, 17	3bitr 155	. 2 ⊢ (∪A ⊆ B ↔ ∀x(x ∈ A → x ⊆ B))
19		df-ral 1205	. 2 ⊢ (∀x ∈ A x ⊆ B ↔ ∀x(x ∈ A → x ⊆ B))
20	18, 19	bitr4 154	1 ⊢ (∪A ⊆ B ↔ ∀x ∈ A x ⊆ B)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919

This theorem is referenced by:  uniss2 1942  ssunieq 1945  bm2.5ii 2274  ordunisssuc 2334  sbthlem1 3349  isfinite2 3437  ac6lem 3575  zorn2 3612  suplem1pr 3955  suplem2pr 3956

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920

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