Theorem unop 1931

Description: The union of an ordered pair. Theorem 65 of [Suppes] p. 39.

Assertion

Ref	Expression
unop	⊢ ∪⟨A, B⟩ = {A, B}

Proof of Theorem unop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 1815	. . 3 ⊢ ⟨A, B⟩ = {{A}, {A, B}}
2	1	unieqi 1928	. 2 ⊢ ∪⟨A, B⟩ = ∪{{A}, {A, B}}
3		snex 1859	. . 3 ⊢ {A} ∈ V
4		prex 1892	. . 3 ⊢ {A, B} ∈ V
5	3, 4	unpr 1930	. 2 ⊢ ∪{{A}, {A, B}} = ({A} ∪ {A, B})
6		snsspr 1853	. . 3 ⊢ {A} ⊆ {A, B}
7		ssequn1 1628	. . 3 ⊢ ({A} ⊆ {A, B} ↔ ({A} ∪ {A, B}) = {A, B})
8	6, 7	mpbi 164	. 2 ⊢ ({A} ∪ {A, B}) = {A, B}
9	2, 5, 8	3eqtr 1123	1 ⊢ ∪⟨A, B⟩ = {A, B}

Syntax hints:   = wceq 1091   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  {csn 1808  {cpr 1809  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920

metamath.org