Theorem unxpdom 3650

Description: Cross product dominates union for sets with cardinality greater than 1. Proposition 10.36 of [TakeutiZaring] p. 93.

Assertion

Ref	Expression
unxpdom	⊢ ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ B) → (A ∪ B) ≼ (A × B))

Proof of Theorem unxpdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 3315	. . . 4 ⊢ (1o ≺ A → (1o ∈ V ∧ A ∈ V))
2	1	pm3.27d 262	. . 3 ⊢ (1o ≺ A → A ∈ V)
3		sdomex 3315	. . . 4 ⊢ (1o ≺ B → (1o ∈ V ∧ B ∈ V))
4	3	pm3.27d 262	. . 3 ⊢ (1o ≺ B → B ∈ V)
5	2, 4	anim12i 268	. 2 ⊢ ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ B) → (A ∈ V ∧ B ∈ V))
6		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (x = A → (1o ≺ x ↔ 1o ≺ A))
7	6	anbi1d 469	. . . 4 ⊢ (x = A → ((1o ≺ x ∧ 1o ≺ y) ↔ (1o ≺ A ∧ 1o ≺ y)))
8		uneq1 1605	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∪ y) = (A ∪ y))
9		xpeq1 2440	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x × y) = (A × y))
10	8, 9	breq12d 2073	. . . 4 ⊢ (x = A → ((x ∪ y) ≼ (x × y) ↔ (A ∪ y) ≼ (A × y)))
11	7, 10	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (x = A → (((1o ≺ x ∧ 1o ≺ y) → (x ∪ y) ≼ (x × y)) ↔ ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ y) → (A ∪ y) ≼ (A × y))))
12		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (y = B → (1o ≺ y ↔ 1o ≺ B))
13	12	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ (y = B → ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ y) ↔ (1o ≺ A ∧ 1o ≺ B)))
14		uneq2 1606	. . . . 5 ⊢ (y = B → (A ∪ y) = (A ∪ B))
15		xpeq2 2441	. . . . 5 ⊢ (y = B → (A × y) = (A × B))
16	14, 15	breq12d 2073	. . . 4 ⊢ (y = B → ((A ∪ y) ≼ (A × y) ↔ (A ∪ B) ≼ (A × B)))
17	13, 16	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (y = B → (((1o ≺ A ∧ 1o ≺ y) → (A ∪ y) ≼ (A × y)) ↔ ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ B) → (A ∪ B) ≼ (A × B))))
18		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
19		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
20	18, 19	unxpdomlem 3649	. . 3 ⊢ ((1o ≺ x ∧ 1o ≺ y) → (x ∪ y) ≼ (x × y))
21	11, 17, 20	vtocl2g 1386	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ B) → (A ∪ B) ≼ (A × B)))
22	5, 21	mpcom 49	1 ⊢ ((1o ≺ A ∧ 1o ≺ B) → (A ∪ B) ≼ (A × B))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   class class class wbr 2054   × cxp 2408  1_oc1o 3099   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  unxpdom2 3651  sucxpdom 3652  infxpidmlem1 4933

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-2o 3105  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623

metamath.org