Theorem uzwo 4605

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of an upper partition of ℤ has a least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo	⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = B → (v ≤ y ↔ B ≤ y))
2	1	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = B → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A B ≤ y))
3	2	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = B → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A B ≤ y)))
4		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = u → (v ≤ y ↔ u ≤ y))
5	4	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = u → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A u ≤ y))
6	5	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = u → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y)))
7		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = (u + 1) → (v ≤ y ↔ (u + 1) ≤ y))
8	7	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = (u + 1) → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
9	8	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = (u + 1) → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
10		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = w → (v ≤ y ↔ w ≤ y))
11	10	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = w → (∀y ∈ A v ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
12	11	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = w → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A v ≤ y) ↔ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y)))
13		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (y ∈ A → y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}))
14		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z = y → (B ≤ z ↔ B ≤ y))
15	14	elrab 1422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ↔ (y ∈ ℤ ∧ B ≤ y))
16	15	pm3.27bd 263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → B ≤ y)
17	13, 16	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (y ∈ A → B ≤ y))
18	17	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ∀y ∈ A B ≤ y)
19	18	adantr 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A B ≤ y)
20		ssrab 1556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ
21	20	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → u ∈ ℤ)
22		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (x = u → (x ≤ y ↔ u ≤ y))
23	22	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (x = u → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A u ≤ y))
24	23	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((u ∈ A ∧ ∀y ∈ A u ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
25	24	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ∈ A → (∀y ∈ A u ≤ y → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
26	25	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∀y ∈ A u ≤ y → (u ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
27	26	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀y ∈ A u ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ u ∈ A))
28	27	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ¬ u ∈ A))
29		letri3t 4283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((u ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (u = y ↔ (u ≤ y ∧ y ≤ u)))
30		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (u ∈ ℤ → u ∈ ℝ)
31		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (u = y ↔ (u ≤ y ∧ y ≤ u)))
33		zleltp1t 4598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((y ∈ ℤ ∧ u ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ y < (u + 1)))
34	33	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ y < (u + 1)))
35		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((u + 1) ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((u + 1) ≤ y ↔ ¬ y < (u + 1)))
36		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 1 ∈ ℝ
37		axaddrcl 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((u ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (u + 1) ∈ ℝ)
38	36, 37	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (u ∈ ℝ → (u + 1) ∈ ℝ)
39	35, 38	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((u ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((u + 1) ≤ y ↔ ¬ y < (u + 1)))
40	39	bicon2d 404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((u ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (y < (u + 1) ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
41	40, 30, 31	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (y < (u + 1) ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
42	34, 41	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (y ≤ u ↔ ¬ (u + 1) ≤ y))
43	42	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ((u ≤ y ∧ y ≤ u) ↔ (u ≤ y ∧ ¬ (u + 1) ≤ y)))
44	32, 43	bitrd 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (u = y ↔ (u ≤ y ∧ ¬ (u + 1) ≤ y)))
45		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A) → y ∈ ℤ)
46	44, 45	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → (u = y ↔ (u ≤ y ∧ ¬ (u + 1) ≤ y)))
47		eleq1a 1158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y ∈ A → (u = y → u ∈ A))
48	47	ad2antrr 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → (u = y → u ∈ A))
49	46, 48	sylbird 180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → ((u ≤ y ∧ ¬ (u + 1) ≤ y) → u ∈ A))
50	49	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → (u ≤ y → (¬ (u + 1) ≤ y → u ∈ A)))
51		con1 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((¬ (u + 1) ≤ y → u ∈ A) → (¬ u ∈ A → (u + 1) ≤ y))
52	50, 51	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → (u ≤ y → (¬ u ∈ A → (u + 1) ≤ y)))
53	52	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ (A ⊆ ℤ ∧ y ∈ A)) → (¬ u ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))
54	53	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (y ∈ A → (¬ u ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))))
55	54	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (¬ u ∈ A → (y ∈ A → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y)))))
56	55	imp41 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((u ∈ ℤ ∧ A ⊆ ℤ) ∧ ¬ u ∈ A) ∧ y ∈ A) → (u ≤ y → (u + 1) ≤ y))
57	56	r19.20dva 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((u ∈ ℤ ∧ A ⊆ ℤ) ∧ ¬ u ∈ A) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
58	57	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((u ∈ ℤ ∧ A ⊆ ℤ) → (¬ u ∈ A → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
59	28, 58	sylan9r 360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((u ∈ ℤ ∧ A ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
60	59	pm2.43d 59	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((u ∈ ℤ ∧ A ⊆ ℤ) ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))
61	60	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (u ∈ ℤ → (A ⊆ ℤ → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y))))
62	61	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (u ∈ ℤ → ((A ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
63	21, 62	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ ℤ ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
64		sstr 1511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ) → A ⊆ ℤ)
65	20, 64	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → A ⊆ ℤ)
66	63, 65	sylani 356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A u ≤ y → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
67	66	a2d 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
68	67	adantl 305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ u ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A u ≤ y) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A (u + 1) ≤ y)))
69	3, 6, 9, 12, 19, 68	uzind2 4604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ∀y ∈ A w ≤ y))
70		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
71	70	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x = w → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
72	71	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((w ∈ A ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
73	72	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w ∈ A → (∀y ∈ A w ≤ y → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
74	73	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (w ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
75	74	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
76	75	com12 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
77	76	adantl 305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → (∀y ∈ A w ≤ y → ¬ w ∈ A))
78	69, 77	sylcom 51	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
79	78	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℤ → (w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A)))
80		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (w ∈ A → w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}))
81	80	con3d 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ¬ w ∈ A))
82	81	com12 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ¬ w ∈ A))
83	82	adantrd 308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
84	83	a1i 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℤ → (¬ w ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A)))
85	79, 84	pm2.61d 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℤ → ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ ¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y) → ¬ w ∈ A))
86	85	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℤ → (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A)))
87	86	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ¬ w ∈ A))
88	87	19.21adv 945	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → ∀w ¬ w ∈ A))
89		eq0 1719	. . . . . 6 ⊢ (A = ∅ ↔ ∀w ¬ w ∈ A)
90	88, 89	syl6ibr 186	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y → A = ∅))
91	90	con1d 85	. . . 4 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (¬ A = ∅ → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
92		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ¬ A = ∅)
93	91, 92	syl5ib 181	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) → (A ≠ ∅ → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y))
94	93	imp 277	. 2 ⊢ (((B ∈ ℤ ∧ A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z}) ∧ A ≠ ∅) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
95	94	anasss 337	1 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  uzwo2 4606  nnwo 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

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