Theorem uzwo2 4606

Description: Well-ordering principle: any non-empty subset of an upper partition of ℤ has a unique least element.

Assertion

Ref	Expression
uzwo2	⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,z,B

Proof of Theorem uzwo2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzwo 4605	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
2		ssrab 1556	. . . . . . 7 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℤ
3		zssre 4569	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
4	2, 3	sstri 1512	. . . . . 6 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℝ
5		sstr 1511	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ ℝ) → A ⊆ ℝ)
6	4, 5	mpan2 519	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → A ⊆ ℝ)
7		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = w → (x ≤ y ↔ x ≤ w))
8	7	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A x ≤ y → (w ∈ A → x ≤ w))
9		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = x → (w ≤ y ↔ w ≤ x))
10	9	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A w ≤ y → (x ∈ A → w ≤ x))
11	8, 10	im2anan9 434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → ((w ∈ A ∧ x ∈ A) → (x ≤ w ∧ w ≤ x)))
12	11	imp 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) ∧ (w ∈ A ∧ x ∈ A)) → (x ≤ w ∧ w ≤ x))
13		ancom 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ A ∧ w ∈ A) ↔ (w ∈ A ∧ x ∈ A))
14	12, 13	sylan2b 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → (x ≤ w ∧ w ≤ x))
15	14	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ (∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y)) ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → (x ≤ w ∧ w ≤ x))
16		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℝ → (x ∈ A → x ∈ ℝ))
17		ssel 1502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℝ → (w ∈ A → w ∈ ℝ))
18	16, 17	anim12d 431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ A ∧ w ∈ A) → (x ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)))
19	18	imp 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → (x ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ))
20		letri3t 4283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (x = w ↔ (x ≤ w ∧ w ≤ x)))
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ⊆ ℝ ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → (x = w ↔ (x ≤ w ∧ w ≤ x)))
22	21	adantlr 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ (∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y)) ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → (x = w ↔ (x ≤ w ∧ w ≤ x)))
23	15, 22	mpbird 171	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ∧ (∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y)) ∧ (x ∈ A ∧ w ∈ A)) → x = w)
24	23	exp31 293	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → ((x ∈ A ∧ w ∈ A) → x = w)))
25	24	com23 32	. . . . . 6 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ A ∧ w ∈ A) → ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
26	25	r19.21aivv 1263	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ ℝ → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
27	6, 26	syl 12	. . . 4 ⊢ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
28	27	ad2antrl 322	. . 3 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w))
29	1, 28	jca 236	. 2 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → (∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
30		breq1 2065	. . . 4 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
31	30	biraldv 1219	. . 3 ⊢ (x = w → (∀y ∈ A x ≤ y ↔ ∀y ∈ A w ≤ y))
32	31	reu4 1340	. 2 ⊢ (∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ↔ (∃x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀x ∈ A ∀w ∈ A ((∀y ∈ A x ≤ y ∧ ∀y ∈ A w ≤ y) → x = w)))
33	29, 32	sylibr 175	1 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ∧ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  uzwo3lem1 4614  uzwo3lem2 4615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org