Theorem uzwo3lem1 4614

Description: Lemma for uzwo3 4616 and zmin 4617.

Hypothesis

Ref	Expression
uzwo3lem.1	⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem1	⊢ (B ∈ ℝ → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)

Distinct variable group(s):   z,B   x,y,R   y,z

Proof of Theorem uzwo3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnz 4613	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (∃v ∈ ℤ v < B ∧ ∃z ∈ ℤ B < z))
2	1	pm3.26d 258	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃v ∈ ℤ v < B)
3		ltletrt 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((v < B ∧ B ≤ z) → v < z))
4		ltlet 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (v < z → v ≤ z))
5	4	3adant2 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (v < z → v ≤ z))
6	3, 5	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((v < B ∧ B ≤ z) → v ≤ z))
7		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ℤ → z ∈ ℝ)
8	6, 7	syl3an3 621	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((v ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℤ) → ((v < B ∧ B ≤ z) → v ≤ z))
9		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (v ∈ ℤ → v ∈ ℝ)
10	8, 9	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℤ) → ((v < B ∧ B ≤ z) → v ≤ z))
11	10	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℤ) → (v < B → (B ≤ z → v ≤ z)))
12	11	3exp 611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v ∈ ℤ → (B ∈ ℝ → (z ∈ ℤ → (v < B → (B ≤ z → v ≤ z)))))
13	12	com34 36	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v ∈ ℤ → (B ∈ ℝ → (v < B → (z ∈ ℤ → (B ≤ z → v ≤ z)))))
14	13	imp32 281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → (z ∈ ℤ → (B ≤ z → v ≤ z)))
15	14	r19.21aiv 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → ∀z ∈ ℤ (B ≤ z → v ≤ z))
16		ss2rab 1553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z} ↔ ∀z ∈ ℤ (B ≤ z → v ≤ z))
17	15, 16	sylibr 175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z})
18		uzwo3lem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}
19	17, 18	syl5ss 1544	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → R ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z})
20	1	pm3.27d 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃z ∈ ℤ B < z)
21		ltlet 4286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → (B < z → B ≤ z))
22	21, 7	sylan2 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ z ∈ ℤ) → (B < z → B ≤ z))
23	22	r19.22dva 1280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → (∃z ∈ ℤ B < z → ∃z ∈ ℤ B ≤ z))
24	18	cleq1i 1108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (R = ∅ ↔ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} = ∅)
25	24	negbii 162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ R = ∅ ↔ ¬ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} = ∅)
26		rabn0 1716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} = ∅ ↔ ∃z ∈ ℤ B ≤ z)
27	25, 26	bitr2 152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃z ∈ ℤ B ≤ z ↔ ¬ R = ∅)
28		df-ne 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (R ≠ ∅ ↔ ¬ R = ∅)
29	27, 28	bitr4 154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z ∈ ℤ B ≤ z ↔ R ≠ ∅)
30	23, 29	syl6ib 185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → (∃z ∈ ℤ B < z → R ≠ ∅))
31	20, 30	mpd 46	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → R ≠ ∅)
32	31	ad2antrl 322	. . . . . . . 8 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → R ≠ ∅)
33	19, 32	jca 236	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (B ∈ ℝ ∧ v < B)) → (R ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z} ∧ R ≠ ∅))
34	33	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (v ∈ ℤ → ((B ∈ ℝ ∧ v < B) → (R ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z} ∧ R ≠ ∅)))
35		uzwo2 4606	. . . . . . 7 ⊢ ((v ∈ ℤ ∧ (R ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z} ∧ R ≠ ∅)) → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)
36	35	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (v ∈ ℤ → ((R ⊆ {z ∈ ℤ∣v ≤ z} ∧ R ≠ ∅) → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y))
37	34, 36	syld 27	. . . . 5 ⊢ (v ∈ ℤ → ((B ∈ ℝ ∧ v < B) → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y))
38	37	exp3a 292	. . . 4 ⊢ (v ∈ ℤ → (B ∈ ℝ → (v < B → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)))
39	38	com12 13	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (v ∈ ℤ → (v < B → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)))
40	39	r19.23adv 1286	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ → (∃v ∈ ℤ v < B → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y))
41	2, 40	mpd 46	1 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  uzwo3lem2 4615  zmin 4617

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org