Theorem uzwo3lem2 4615

Description: Lemma for uzwo3 4616.

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo3lem.1	⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}
uzwo3lem.2	⊢ S = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v}

Assertion

Ref	Expression
uzwo3lem2	⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (A ⊆ R ∧ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Distinct variable group(s):   z,v,B   x,y,v,R   y,z,x,w,v   x,A,y   y,S   w,R

Proof of Theorem uzwo3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 1510	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ R → (R ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t}))
2		uzwo3lem.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R = {z ∈ ℤ∣B ≤ z}
3	2	uzwo3lem1 4614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y)
4		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = w → (x ≤ y ↔ w ≤ y))
5	4	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = w → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀y ∈ R w ≤ y))
6		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = v → (w ≤ y ↔ w ≤ v))
7	6	cbvralv 1333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ R w ≤ y ↔ ∀v ∈ R w ≤ v)
8	5, 7	syl6bb 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = w → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀v ∈ R w ≤ v))
9		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} → (x ≤ y ↔ ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y))
10	9	biraldv 1219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} → (∀y ∈ R x ≤ y ↔ ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y))
11	8, 10	reuuni3 1958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y → ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
12		uzwo3lem.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ S = ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v}
13	12	breq1i 2068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (S ≤ y ↔ ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
14	13	biral 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y ∈ R S ≤ y ↔ ∀y ∈ R ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ≤ y)
15	11, 14	sylibr 175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃!x ∈ R ∀y ∈ R x ≤ y → ∀y ∈ R S ≤ y)
16		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = t → (S ≤ y ↔ S ≤ t))
17	16	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y ∈ R S ≤ y → (t ∈ R → S ≤ t))
18	3, 15, 17	3syl 21	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ ℝ → (t ∈ R → S ≤ t))
19	2	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t ∈ R ↔ t ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z})
20		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = t → (B ≤ z ↔ B ≤ t))
21	20	elrab 1422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t ∈ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} ↔ (t ∈ ℤ ∧ B ≤ t))
22	19, 21	bitr 151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (t ∈ R ↔ (t ∈ ℤ ∧ B ≤ t))
23	18, 22	syl5ibr 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℝ → ((t ∈ ℤ ∧ B ≤ t) → S ≤ t))
24	23	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℝ → (t ∈ ℤ → (B ≤ t → S ≤ t)))
25	24	r19.21aiv 1259	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℝ → ∀t ∈ ℤ (B ≤ t → S ≤ t))
26		ss2rab 1553	. . . . . . 7 ⊢ ({t ∈ ℤ∣B ≤ t} ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} ↔ ∀t ∈ ℤ (B ≤ t → S ≤ t))
27	25, 26	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → {t ∈ ℤ∣B ≤ t} ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t})
28	20	cbvrabv 1426	. . . . . . 7 ⊢ {z ∈ ℤ∣B ≤ z} = {t ∈ ℤ∣B ≤ t}
29	2, 28	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ R = {t ∈ ℤ∣B ≤ t}
30	27, 29	syl5ss 1544	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℝ → R ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t})
31	1, 30	syl5 22	. . . 4 ⊢ (A ⊆ R → (B ∈ ℝ → A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t}))
32	31	com12 13	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ R → A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t}))
33	2	uzwo3lem1 4614	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℝ → ∃!w ∈ R ∀v ∈ R w ≤ v)
34		reucl 1957	. . . . . 6 ⊢ (∃!w ∈ R ∀v ∈ R w ≤ v → ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ∈ R)
35	33, 34	syl 12	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℝ → ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ∈ R)
36	12	eleq1i 1152	. . . . 5 ⊢ (S ∈ R ↔ ∪{w ∈ R∣∀v ∈ R w ≤ v} ∈ R)
37	35, 36	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℝ → S ∈ R)
38	29	eleq2i 1153	. . . . . 6 ⊢ (S ∈ R ↔ S ∈ {t ∈ ℤ∣B ≤ t})
39		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (t = S → (B ≤ t ↔ B ≤ S))
40	39	elrab 1422	. . . . . 6 ⊢ (S ∈ {t ∈ ℤ∣B ≤ t} ↔ (S ∈ ℤ ∧ B ≤ S))
41	38, 40	bitr 151	. . . . 5 ⊢ (S ∈ R ↔ (S ∈ ℤ ∧ B ≤ S))
42	41	pm3.26bd 259	. . . 4 ⊢ (S ∈ R → S ∈ ℤ)
43		uzwo2 4606	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ ℤ ∧ (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} ∧ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)
44	43	exp32 294	. . . 4 ⊢ (S ∈ ℤ → (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
45	37, 42, 44	3syl 21	. . 3 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ {t ∈ ℤ∣S ≤ t} → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
46	32, 45	syld 27	. 2 ⊢ (B ∈ ℝ → (A ⊆ R → (A ≠ ∅ → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)))
47	46	imp32 281	1 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ (A ⊆ R ∧ A ≠ ∅)) → ∃!x ∈ A ∀y ∈ A x ≤ y)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ∀wral 1201  ∃!wreu 1203  {crab 1204   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  uzwo3 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org