Theorem vtoclibr 2451

Description: Variable to class conversion of transitive, irreflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	⊢ Rel R
vtoclr.2	⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
vtoclibr.3	⊢ ¬ xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclibr	⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclibr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → (xRx ↔ BRx))
2		breq2 2066	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = B → (BRx ↔ BRB))
3	1, 2	bitrd 406	. . . . . . . 8 ⊢ (x = B → (xRx ↔ BRB))
4	3	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (x = B → (¬ xRx ↔ ¬ BRB))
5		vtoclibr.3	. . . . . . 7 ⊢ ¬ xRx
6	4, 5	vtoclg 1383	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ V → ¬ BRB)
7		vtoclr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Rel R
8	7	brrelexi 2447	. . . . . . 7 ⊢ (BRB → B ∈ V)
9	8	con3i 90	. . . . . 6 ⊢ (¬ B ∈ V → ¬ BRB)
10	6, 9	pm2.61i 110	. . . . 5 ⊢ ¬ BRB
11		brprc 2097	. . . . 5 ⊢ (¬ C ∈ V → (BRC ↔ BRB))
12	10, 11	mtbiri 539	. . . 4 ⊢ (¬ C ∈ V → ¬ BRC)
13	12	a3i 69	. . 3 ⊢ (BRC → C ∈ V)
14		vtoclr.2	. . . 4 ⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
15	7, 14	vtoclr 2449	. . 3 ⊢ (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
16	13, 15	syl 12	. 2 ⊢ (BRC → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
17	16	anabsi7 379	1 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Rel wrel 2415

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org