Theorem vtoclr 2449

Description: Variable to class conversion of transitive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	⊢ Rel R
vtoclr.2	⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)

Assertion

Ref	Expression
vtoclr	⊢ (C ∈ D → ((ARB ∧ BRC) → ARC))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1354	. 2 ⊢ (C ∈ D → C ∈ V)
2		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (xRy ↔ ARy))
3	2	anbi1d 469	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → ((xRy ∧ yRC) ↔ (ARy ∧ yRC)))
4		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xRC ↔ ARC))
5	3, 4	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (((xRy ∧ yRC) → xRC) ↔ ((ARy ∧ yRC) → ARC)))
6	5	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (x = A → ((C ∈ V → ((xRy ∧ yRC) → xRC)) ↔ (C ∈ V → ((ARy ∧ yRC) → ARC))))
7		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (y = B → (ARy ↔ ARB))
8		breq1 2065	. . . . . . . 8 ⊢ (y = B → (yRC ↔ BRC))
9	7, 8	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (y = B → ((ARy ∧ yRC) ↔ (ARB ∧ BRC)))
10	9	imbi1d 465	. . . . . 6 ⊢ (y = B → (((ARy ∧ yRC) → ARC) ↔ ((ARB ∧ BRC) → ARC)))
11	10	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = B → ((C ∈ V → ((ARy ∧ yRC) → ARC)) ↔ (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))))
12		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (z = C → (yRz ↔ yRC))
13	12	anbi2d 468	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → ((xRy ∧ yRz) ↔ (xRy ∧ yRC)))
14		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (z = C → (xRz ↔ xRC))
15	13, 14	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (z = C → (((xRy ∧ yRz) → xRz) ↔ ((xRy ∧ yRC) → xRC)))
16		vtoclr.2	. . . . . 6 ⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
17	15, 16	vtoclg 1383	. . . . 5 ⊢ (C ∈ V → ((xRy ∧ yRC) → xRC))
18	6, 11, 17	vtocl2g 1386	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC)))
19		vtoclr.1	. . . . 5 ⊢ Rel R
20	19	brrelexi 2447	. . . 4 ⊢ (ARB → A ∈ V)
21	19	brrelexi 2447	. . . 4 ⊢ (BRC → B ∈ V)
22	18, 20, 21	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC)))
23	22	pm2.43b 61	. 2 ⊢ (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
24	1, 23	syl 12	1 ⊢ (C ∈ D → ((ARB ∧ BRC) → ARC))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  vtoclrbr 2450  vtoclibr 2451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org