Theorem vtoclrbr 2450

Description: Variable to class conversion of transitive, reflexive relation.

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclr.1	⊢ Rel R
vtoclr.2	⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
vtoclrbr.3	⊢ xRx

Assertion

Ref	Expression
vtoclrbr	⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem vtoclrbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtoclr.1	. . 3 ⊢ Rel R
2		vtoclr.2	. . 3 ⊢ ((xRy ∧ yRz) → xRz)
3	1, 2	vtoclr 2449	. 2 ⊢ (C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
4		brprc 2097	. . . . 5 ⊢ (¬ C ∈ V → (ARC ↔ ARA))
5		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (xRx ↔ ARx))
6		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (ARx ↔ ARA))
7	5, 6	bitrd 406	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (xRx ↔ ARA))
8		vtoclrbr.3	. . . . . 6 ⊢ xRx
9	7, 8	vtoclg 1383	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → ARA)
10	4, 9	syl5bir 184	. . . 4 ⊢ (¬ C ∈ V → (A ∈ V → ARC))
11	1	brrelexi 2447	. . . 4 ⊢ (ARB → A ∈ V)
12	10, 11	syl5 22	. . 3 ⊢ (¬ C ∈ V → (ARB → ARC))
13	12	adantrd 308	. 2 ⊢ (¬ C ∈ V → ((ARB ∧ BRC) → ARC))
14	3, 13	pm2.61i 110	1 ⊢ ((ARB ∧ BRC) → ARC)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Rel wrel 2415

This theorem is referenced by:  entrt 3319  domtr 3320

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org