Theorem wecmpep 2193

Description: The elements of an epsilon well-ordering are comparable.

Assertion

Ref	Expression
wecmpep	⊢ ((E We A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A)) → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))

Proof of Theorem wecmpep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		solin 2145	. . 3 ⊢ ((E Or A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A)) → (xEy ∨ x = y ∨ yEx))
2		epel 2124	. . . 4 ⊢ (xEy ↔ x ∈ y)
3		pm4.2 148	. . . 4 ⊢ (x = y ↔ x = y)
4		epel 2124	. . . 4 ⊢ (yEx ↔ y ∈ x)
5	2, 3, 4	bi3or 607	. . 3 ⊢ ((xEy ∨ x = y ∨ yEx) ↔ (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))
6	1, 5	sylib 173	. 2 ⊢ ((E Or A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A)) → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))
7		weso 2192	. 2 ⊢ (E We A → E Or A)
8	6, 7	sylan 343	1 ⊢ ((E We A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A)) → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   = weq 797   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  Ecep 2056   Or wor 2059   We wwe 2062

This theorem is referenced by:  tz7.7 2224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-so 2138  df-we 2186

metamath.org