Theorem wetrep 2194

Description: An epsilon well-ordering is a transitive relation.

Assertion

Ref	Expression
wetrep	⊢ ((E We A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ((x ∈ y ∧ y ∈ z) → x ∈ z))

Proof of Theorem wetrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sotr 2144	. . 3 ⊢ ((E Or A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ((xEy ∧ yEz) → xEz))
2		weso 2192	. . 3 ⊢ (E We A → E Or A)
3	1, 2	sylan 343	. 2 ⊢ ((E We A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ((xEy ∧ yEz) → xEz))
4		epel 2124	. . 3 ⊢ (xEy ↔ x ∈ y)
5		epel 2124	. . 3 ⊢ (yEz ↔ y ∈ z)
6	4, 5	anbi12i 369	. 2 ⊢ ((xEy ∧ yEz) ↔ (x ∈ y ∧ y ∈ z))
7		epel 2124	. 2 ⊢ (xEz ↔ x ∈ z)
8	3, 6, 7	3imtr3g 425	1 ⊢ ((E We A ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A)) → ((x ∈ y ∧ y ∈ z) → x ∈ z))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  Ecep 2056   Or wor 2059   We wwe 2062

This theorem is referenced by:  wefrc 2195  ordelord 2221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-we 2186

metamath.org