Theorem xpex 2488

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23.

Hypotheses

Ref	Expression
xpex.1	⊢ A ∈ V
xpex.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpex	⊢ (A × B) ∈ V

Proof of Theorem xpex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpex.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
2		xpex.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ V
3	1, 2	unex 1949	. . . 4 ⊢ (A ∪ B) ∈ V
4	3	pwex 1806	. . 3 ⊢ ℘(A ∪ B) ∈ V
5	4	pwex 1806	. 2 ⊢ ℘℘(A ∪ B) ∈ V
6		relxp 2486	. . 3 ⊢ Rel (A × B)
7		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
8	7	opelxp 2452	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
9		snssi 1851	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ A → {x} ⊆ A)
10		ssun3 1623	. . . . . . . . 9 ⊢ ({x} ⊆ A → {x} ⊆ (A ∪ B))
11	9, 10	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → {x} ⊆ (A ∪ B))
12		snex 1859	. . . . . . . . 9 ⊢ {x} ∈ V
13	12	elpw 1801	. . . . . . . 8 ⊢ ({x} ∈ ℘(A ∪ B) ↔ {x} ⊆ (A ∪ B))
14	11, 13	sylibr 175	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → {x} ∈ ℘(A ∪ B))
15	14	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → {x} ∈ ℘(A ∪ B))
16		snssi 1851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ B → {y} ⊆ B)
17		ssun4 1624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({y} ⊆ B → {y} ⊆ (A ∪ B))
18	16, 17	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ B → {y} ⊆ (A ∪ B))
19	11, 18	anim12i 268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ({x} ⊆ (A ∪ B) ∧ {y} ⊆ (A ∪ B)))
20		unss 1632	. . . . . . . . 9 ⊢ (({x} ⊆ (A ∪ B) ∧ {y} ⊆ (A ∪ B)) ↔ ({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B))
21	19, 20	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ({x} ∪ {y}) ⊆ (A ∪ B))
22		df-pr 1812	. . . . . . . 8 ⊢ {x, y} = ({x} ∪ {y})
23	21, 22	syl5ss 1544	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → {x, y} ⊆ (A ∪ B))
24		zfpair 1891	. . . . . . . 8 ⊢ {x, y} ∈ V
25	24	elpw 1801	. . . . . . 7 ⊢ ({x, y} ∈ ℘(A ∪ B) ↔ {x, y} ⊆ (A ∪ B))
26	23, 25	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → {x, y} ∈ ℘(A ∪ B))
27	15, 26	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ({x} ∈ ℘(A ∪ B) ∧ {x, y} ∈ ℘(A ∪ B)))
28		prex 1892	. . . . . . 7 ⊢ {{x}, {x, y}} ∈ V
29	28	elpw 1801	. . . . . 6 ⊢ ({{x}, {x, y}} ∈ ℘℘(A ∪ B) ↔ {{x}, {x, y}} ⊆ ℘(A ∪ B))
30		df-op 1815	. . . . . . 7 ⊢ ⟨x, y⟩ = {{x}, {x, y}}
31	30	eleq1i 1152	. . . . . 6 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ℘℘(A ∪ B) ↔ {{x}, {x, y}} ∈ ℘℘(A ∪ B))
32	12, 24	prss 1854	. . . . . 6 ⊢ (({x} ∈ ℘(A ∪ B) ∧ {x, y} ∈ ℘(A ∪ B)) ↔ {{x}, {x, y}} ⊆ ℘(A ∪ B))
33	29, 31, 32	3bitr4r 159	. . . . 5 ⊢ (({x} ∈ ℘(A ∪ B) ∧ {x, y} ∈ ℘(A ∪ B)) ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ℘℘(A ∪ B))
34	27, 33	sylib 173	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ⟨x, y⟩ ∈ ℘℘(A ∪ B))
35	8, 34	sylbi 174	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → ⟨x, y⟩ ∈ ℘℘(A ∪ B))
36	6, 35	relssi 2481	. 2 ⊢ (A × B) ⊆ ℘℘(A ∪ B)
37	5, 36	ssexi 1701	1 ⊢ (A × B) ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487  ℘cpw 1798  {csn 1808  {cpr 1809  ⟨cop 1810   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  xpexg 2489  oprabex 3044  oprabex3 3046  oprvalex 3055  map0 3268  map1 3335  xpsnen 3339  endisj 3341  xpcomen 3343  xpassen 3344  xpdom2 3345  xpdom3 3347  xpen 3383  mapxpen 3390  xpmapenlem5 3395  aceq3 3556  aceq5lem2 3559  aceq5lem3 3560  weth 3602  fodomb 3615  unxpdomlem 3649  unxpdom2 3651  sucxpdom 3652  uncdadom 3718  cdaassen 3725  xpcdaen 3726  cdadom1 3727  enqex 3842  nqex 3843  enrex 3972  srex 3973  dfcnqs 4056  axcnex 4061  expp1t 4678  exp1t 4679  clim0 4882  climuni 4884  ruclem9 4893  xpnnen 4927  xpomen 4928  qnnen 4931  infxpidmlem1 4933  infxpidmlem9 4941  infxpidmlem10 4942  infxpidmlem12 4944  infmap1 4950  infmap2lem2 4952  infmap2 4953  hlim0 5140  hlimcau 5142  hlimuni 5144

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425

metamath.org