Theorem xpmapen 3396

Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a cross product. Exercise 4.47 of [Mendelson] p. 255.

Hypotheses

Ref	Expression
xpmapen.1	⊢ A ∈ V
xpmapen.2	⊢ B ∈ V
xpmapen.3	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpmapen	⊢ ((A × B) ↑m C) ≈ ((A ↑m C) × (B ↑m C))

Proof of Theorem xpmapen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpmapen.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		xpmapen.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		xpmapen.3	. 2 ⊢ C ∈ V
4		cleqid 1102	. 2 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ∪dom {(x ‘z)})} = {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ∪dom {(x ‘z)})}
5		cleqid 1102	. 2 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ∪ran {(x ‘z)})} = {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ∪ran {(x ‘z)})}
6		cleqid 1102	. 2 ⊢ {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ⟨(∪dom {y} ‘z), (∪ran {y} ‘z)⟩)} = {⟨z, w⟩∣(z ∈ C ∧ w = ⟨(∪dom {y} ‘z), (∪ran {y} ‘z)⟩)}
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	xpmapenlem5 3395	1 ⊢ ((A × B) ↑m C) ≈ ((A ↑m C) × (B ↑m C))

Syntax hints:   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  {csn 1808  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  {copab 2055   × cxp 2408  dom cdm 2410  ran crn 2411   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ↑_m cm 3258   ≈ cen 3271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-map 3259  df-en 3274

metamath.org