Theorem xpss 2465

Description: A cross product is included in the ordered pair universe. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 25.

Assertion

Ref	Expression
xpss	⊢ (A × B) ⊆ (V × V)

Proof of Theorem xpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.26 256	. . . . 5 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → z = ⟨x, y⟩)
2	1	19.22i 723	. . . 4 ⊢ (∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃y z = ⟨x, y⟩)
3	2	19.22i 723	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃x∃y z = ⟨x, y⟩)
4		elxp 2442	. . 3 ⊢ (z ∈ (A × B) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)))
5		elvv 2464	. . 3 ⊢ (z ∈ (V × V) ↔ ∃x∃y z = ⟨x, y⟩)
6	3, 4, 5	3imtr4 192	. 2 ⊢ (z ∈ (A × B) → z ∈ (V × V))
7	6	ssriv 1508	1 ⊢ (A × B) ⊆ (V × V)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   × cxp 2408

This theorem is referenced by:  relxp 2486  relres 2591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424

metamath.org