Theorem zbtwnre 4619

Description: There is a unique integer between a real number and the number plus one. Exercise 5 of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zbtwnre	⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ x < (A + 1)))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem zbtwnre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmin 4617	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
2		ltletrt 4290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x − 1) ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ∧ A ≤ y) → (x − 1) < y))
3		zret 4567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
4		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		resubclt 4173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (x − 1) ∈ ℝ)
6	4, 5	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ ℝ → (x − 1) ∈ ℝ)
7	3, 6	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → (x − 1) ∈ ℝ)
8	2, 7	syl3an1 619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ∧ A ≤ y) → (x − 1) < y))
9	8	3expa 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) ∧ y ∈ ℝ) → (((x − 1) < A ∧ A ≤ y) → (x − 1) < y))
10		zret 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
11	9, 10	sylan2 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) ∧ y ∈ ℤ) → (((x − 1) < A ∧ A ≤ y) → (x − 1) < y))
12		zlem1ltt 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (x ≤ y ↔ (x − 1) < y))
13	12	adantlr 310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) ∧ y ∈ ℤ) → (x ≤ y ↔ (x − 1) < y))
14	11, 13	sylibrd 179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) ∧ y ∈ ℤ) → (((x − 1) < A ∧ A ≤ y) → x ≤ y))
15	14	exp4b 296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (y ∈ ℤ → ((x − 1) < A → (A ≤ y → x ≤ y))))
16	15	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A → (y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y))))
17	16	r19.21adv 1262	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A → ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
18		ltnrt 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x − 1) ∈ ℝ → ¬ (x − 1) < (x − 1))
19	3, 6, 18	3syl 21	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℤ → ¬ (x − 1) < (x − 1))
20		1z 4584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zsubclt 4591	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (x − 1) ∈ ℤ)
22	20, 21	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → (x − 1) ∈ ℤ)
23		zlem1ltt 4599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ (x − 1) ∈ ℤ) → (x ≤ (x − 1) ↔ (x − 1) < (x − 1)))
24	22, 23	mpdan 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ℤ → (x ≤ (x − 1) ↔ (x − 1) < (x − 1)))
25	19, 24	mtbird 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ ℤ → ¬ x ≤ (x − 1))
26	25	adantl 305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ∧ x ∈ ℤ) → ¬ x ≤ (x − 1))
27		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ (x − 1) ∈ ℝ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
28	27, 7	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
29	28	adantlr 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ∧ x ∈ ℤ) → (A ≤ (x − 1) ↔ ¬ (x − 1) < A))
30		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = (x − 1) → (A ≤ y ↔ A ≤ (x − 1)))
31		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = (x − 1) → (x ≤ y ↔ x ≤ (x − 1)))
32	30, 31	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = (x − 1) → ((A ≤ y → x ≤ y) ↔ (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
33	32	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → ((x − 1) ∈ ℤ → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
34	33, 22	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (x ∈ ℤ → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1))))
35	34	imp 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ∧ x ∈ ℤ) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1)))
36	35	adantll 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ∧ x ∈ ℤ) → (A ≤ (x − 1) → x ≤ (x − 1)))
37	29, 36	sylbird 180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ∧ x ∈ ℤ) → (¬ (x − 1) < A → x ≤ (x − 1)))
38	26, 37	mt3d 101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ∧ x ∈ ℤ) → (x − 1) < A)
39	38	exp31 293	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℝ → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (x ∈ ℤ → (x − 1) < A)))
40	39	com3r 35	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ → (A ∈ ℝ → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (x − 1) < A)))
41	40	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) → (x − 1) < A))
42	17, 41	impbid 397	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
43		ltsubaddt 4353	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
44	4, 43	mp3an2 640	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
45	44, 3	sylan 343	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → ((x − 1) < A ↔ x < (A + 1)))
46	42, 45	bitr3d 408	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ↔ x < (A + 1)))
47	46	ancoms 334	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ↔ x < (A + 1)))
48	47	anbi2d 468	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → ((A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ (A ≤ x ∧ x < (A + 1))))
49	48	bireudva 1317	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ x < (A + 1))))
50	1, 49	mpbid 170	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ x < (A + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃!wreu 1203   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029   + caddc 4031   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  rebtwnz 4620  qbtwnre 4650

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

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