Theorem zfcndac 3765

Description: Axiom of Choice, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndac	⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,v,u,t

Proof of Theorem zfcndac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 3758	. . 3 ⊢ ∃y∀z∀w(∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
2		ax-17 925	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x))
3	2	19.3r 714	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) ↔ ∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x))
4	3	imbi1i 161	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ (∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
5	4	bi2al 696	. . . 4 ⊢ (∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ ∀z∀w(∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
6	5	biex 733	. . 3 ⊢ (∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)) ↔ ∃y∀z∀w(∀y(z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
7	1, 6	mpbir 165	. 2 ⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
8		eqt2b 818	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = x → (u = v ↔ u = x))
9	8	bibi2d 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = x)))
10		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (w ∈ t ↔ w ∈ x))
11	10	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ w ∧ w ∈ t) ↔ (u ∈ w ∧ w ∈ x)))
12		a14b 820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (u ∈ t ↔ u ∈ x))
13		a13b 819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (t = x → (t ∈ y ↔ x ∈ y))
14	12, 13	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (t = x → ((u ∈ t ∧ t ∈ y) ↔ (u ∈ x ∧ x ∈ y)))
15	11, 14	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (t = x → (((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ ((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y))))
16	15	cbvexv 973	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ ∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)))
17	16	bibi1i 461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x))
18	9, 17	syl6bb 414	. . . . . . . 8 ⊢ (v = x → ((∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x)))
19	18	bialdv 935	. . . . . . 7 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀u(∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x)))
20		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ w ↔ z ∈ w))
21	20	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ w ∧ w ∈ x) ↔ (z ∈ w ∧ w ∈ x)))
22		a13b 819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u = z → (u ∈ x ↔ z ∈ x))
23	22	anbi1d 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u = z → ((u ∈ x ∧ x ∈ y) ↔ (z ∈ x ∧ x ∈ y)))
24	21, 23	anbi12d 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u = z → (((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y))))
25	24	biexdv 936	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ ∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y))))
26		a8b 817	. . . . . . . . 9 ⊢ (u = z → (u = x ↔ z = x))
27	25, 26	bibi12d 477	. . . . . . . 8 ⊢ (u = z → ((∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ (∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
28	27	cbvalv 972	. . . . . . 7 ⊢ (∀u(∃x((u ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (u ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ u = x) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
29	19, 28	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ (v = x → (∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
30	29	cbvexv 973	. . . . 5 ⊢ (∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v) ↔ ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x))
31	30	imbi2i 160	. . . 4 ⊢ (((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
32	31	bi2al 696	. . 3 ⊢ (∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
33	32	biex 733	. 2 ⊢ (∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v)) ↔ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃x∀z(∃x((z ∈ w ∧ w ∈ x) ∧ (z ∈ x ∧ x ∈ y)) ↔ z = x)))
34	7, 33	mpbir 165	1 ⊢ ∃y∀z∀w((z ∈ w ∧ w ∈ x) → ∃v∀u(∃t((u ∈ w ∧ w ∈ t) ∧ (u ∈ t ∧ t ∈ y)) ↔ u = v))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

metamath.org