Theorem zfcndinf 3764

Description: Axiom of Infinity, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndinf	⊢ ∃y(x ∈ y ∧ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		el 1860	. . 3 ⊢ ∃w x ∈ w
2		ax-17 925	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ y → ∀w x ∈ y)
3		hbe1 709	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y) → ∀w∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))
4	2, 3	hbim 702	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)) → ∀w(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)))
5	4	hbal 700	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)) → ∀w∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)))
6	2, 5	hban 704	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))) → ∀w(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
7	6	hbex 701	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))) → ∀w∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
8		ax-17 925	. . . . 5 ⊢ (x ∈ w → ∀y x ∈ w)
9		axinfnd 3752	. . . . . 6 ⊢ ∃y(x ∈ w → (x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
10	9	19.35i 755	. . . . 5 ⊢ (∀y x ∈ w → ∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
11	8, 10	syl 12	. . . 4 ⊢ (x ∈ w → ∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
12	7, 11	19.23ai 746	. . 3 ⊢ (∃w x ∈ w → ∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
13	1, 12	ax-mp 6	. 2 ⊢ ∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)))
14		a13b 819	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (z ∈ y ↔ x ∈ y))
15		a13b 819	. . . . . . . 8 ⊢ (z = x → (z ∈ w ↔ x ∈ w))
16	15	anbi1d 469	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → ((z ∈ w ∧ w ∈ y) ↔ (x ∈ w ∧ w ∈ y)))
17	16	biexdv 936	. . . . . 6 ⊢ (z = x → (∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y) ↔ ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)))
18	14, 17	imbi12d 474	. . . . 5 ⊢ (z = x → ((z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y)) ↔ (x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
19	18	cbvalv 972	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y)) ↔ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y)))
20	19	anbi2i 367	. . 3 ⊢ ((x ∈ y ∧ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y))) ↔ (x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
21	20	biex 733	. 2 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y))) ↔ ∃y(x ∈ y ∧ ∀x(x ∈ y → ∃w(x ∈ w ∧ w ∈ y))))
22	13, 21	mpbir 165	1 ⊢ ∃y(x ∈ y ∧ ∀z(z ∈ y → ∃w(z ∈ w ∧ w ∈ y)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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