Theorem zfcndpow 3762

Description: Axiom of Power Sets, reproved from conditionless ZFC axioms. The proof uses the "Axiom of Twoness," dtru 1889.

Assertion

Ref	Expression
zfcndpow	⊢ ∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndpow

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dtru 1889	. . . . 5 ⊢ ¬ ∀y y = z
2		exnal 721	. . . . 5 ⊢ (∃y ¬ y = z ↔ ¬ ∀y y = z)
3	1, 2	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃y ¬ y = z
4		hbe1 709	. . . . 5 ⊢ (∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y) → ∀y∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
5		axpownd 3747	. . . . 5 ⊢ (¬ y = z → ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
6	4, 5	19.23ai 746	. . . 4 ⊢ (∃y ¬ y = z → ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
7	3, 6	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y)
8		19.9rv 941	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ z ↔ ∃x y ∈ z)
9		ax-17 925	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ x → ∀z y ∈ x)
10	9	19.3r 714	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ x ↔ ∀z y ∈ x)
11	8, 10	imbi12i 163	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ z → y ∈ x) ↔ (∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x))
12	11	bial 695	. . . . . 6 ⊢ (∀y(y ∈ z → y ∈ x) ↔ ∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x))
13	12	imbi1i 161	. . . . 5 ⊢ ((∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
14	13	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
15	14	biex 733	. . 3 ⊢ (∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∀y(∃x y ∈ z → ∀z y ∈ x) → z ∈ y))
16	7, 15	mpbir 165	. 2 ⊢ ∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y)
17		a13b 819	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ z ↔ y ∈ z))
18		a13b 819	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
19	17, 18	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((w ∈ z → w ∈ x) ↔ (y ∈ z → y ∈ x)))
20	19	cbvalv 972	. . . . 5 ⊢ (∀w(w ∈ z → w ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ z → y ∈ x))
21	20	imbi1i 161	. . . 4 ⊢ ((∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
22	21	bial 695	. . 3 ⊢ (∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
23	22	biex 733	. 2 ⊢ (∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∀y(y ∈ z → y ∈ x) → z ∈ y))
24	16, 23	mpbir 165	1 ⊢ ∃y∀z(∀w(w ∈ z → w ∈ x) → z ∈ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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