Theorem zfcndreg 3763

Description: Axiom of Regularity, reproved from conditionless ZFC axioms..

Assertion

Ref	Expression
zfcndreg	⊢ (∃y y ∈ x → ∃y(y ∈ x ∧ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))

Distinct variable group(s):   x,y,z

Proof of Theorem zfcndreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 709	. 2 ⊢ (∃y(y ∈ x ∧ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)) → ∀y∃y(y ∈ x ∧ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))
2		axregnd 3750	. 2 ⊢ (y ∈ x → ∃y(y ∈ x ∧ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))
3	1, 2	19.23ai 746	1 ⊢ (∃y y ∈ x → ∃y(y ∈ x ∧ ∀z(z ∈ y → ¬ z ∈ x)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org