Theorem zfcndrep 3760

Description: Axiom of Replacement, reproved from conditionless ZFC axioms. We use several results such as visset 1350 that depend on Extensionality, which was already proved in zfcndext 3759.

Assertion

Ref	Expression
zfcndrep	⊢ (∀w∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndrep

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbe1 709	. . . . . 6 ⊢ (∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀y∃y∀z(∀yφ → z = y))
2		ax-17 925	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ w → ∀y z ∈ w)
3		ax-17 925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (w ∈ x → ∀y w ∈ x)
4		hba1 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y∀yφ → ∀y∀y∀yφ)
5	3, 4	hban 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((w ∈ x ∧ ∀y∀yφ) → ∀y(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))
6	5	hbex 701	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ) → ∀y∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))
7	2, 6	hbbi 705	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)) → ∀y(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
8	7	hbal 700	. . . . . 6 ⊢ (∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)) → ∀y∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
9	1, 8	hbim 702	. . . . 5 ⊢ ((∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))) → ∀y(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
10	9	hbex 701	. . . 4 ⊢ (∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))) → ∀y∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
11		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
12		a14b 820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = x → (w ∈ y ↔ w ∈ x))
13	12	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = x → ((w ∈ y ∧ ∀y∀yφ) ↔ (w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
14	13	biexdv 936	. . . . . . . 8 ⊢ (y = x → (∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ) ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
15	14	bibi2d 470	. . . . . . 7 ⊢ (y = x → ((z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)) ↔ (z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
16	15	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (y = x → (∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)) ↔ ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
17	16	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = x → ((∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))) ↔ (∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))))
18	17	biexdv 936	. . . 4 ⊢ (y = x → (∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))) ↔ ∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))))
19		axrepnd 3740	. . . . 5 ⊢ ∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(∀y z ∈ w ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)))
20	2	19.3r 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ w ↔ ∀y z ∈ w)
21		ax-17 925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ y → ∀z w ∈ y)
22	21	19.3r 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w ∈ y ↔ ∀z w ∈ y)
23	22	anbi1i 368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ y ∧ ∀y∀yφ) ↔ (∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))
24	23	biex 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ) ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))
25	20, 24	bibi12i 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)) ↔ (∀y z ∈ w ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)))
26	25	bial 695	. . . . . . 7 ⊢ (∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)) ↔ ∀z(∀y z ∈ w ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)))
27	26	imbi2i 160	. . . . . 6 ⊢ ((∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))) ↔ (∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(∀y z ∈ w ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))))
28	27	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))) ↔ ∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(∀y z ∈ w ↔ ∃w(∀z w ∈ y ∧ ∀y∀yφ))))
29	19, 28	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ y ∧ ∀y∀yφ)))
30	10, 11, 18, 29	vtoclf 1377	. . 3 ⊢ ∃w(∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
31	30	19.35i 755	. 2 ⊢ (∀w∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∃w∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
32		ax-17 925	. . . . 5 ⊢ (z ∈ y → ∀w z ∈ y)
33		hbe1 709	. . . . 5 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ) → ∀w∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ))
34	32, 33	hbbi 705	. . . 4 ⊢ ((z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)) → ∀w(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)))
35	34	hbal 700	. . 3 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)) → ∀w∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)))
36		a14b 820	. . . . 5 ⊢ (y = w → (z ∈ y ↔ z ∈ w))
37		hba1 698	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀yφ → ∀y∀yφ)
38	37	19.3r 714	. . . . . . . 8 ⊢ (∀yφ ↔ ∀y∀yφ)
39	38	anbi2i 367	. . . . . . 7 ⊢ ((w ∈ x ∧ ∀yφ) ↔ (w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))
40	39	biex 733	. . . . . 6 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ) ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))
41	40	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (y = w → (∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ) ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
42	36, 41	bibi12d 477	. . . 4 ⊢ (y = w → ((z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)) ↔ (z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
43	42	bialdv 935	. . 3 ⊢ (y = w → (∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)) ↔ ∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ))))
44	35, 8, 43	cbvex 849	. 2 ⊢ (∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)) ↔ ∃w∀z(z ∈ w ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀y∀yφ)))
45	31, 44	sylibr 175	1 ⊢ (∀w∃y∀z(∀yφ → z = y) → ∃y∀z(z ∈ y ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ∀yφ)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

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