Theorem zfcndun 3761

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 3742	. 2 ⊢ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y)
2		a14b 820	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (z ∈ w ↔ z ∈ y))
3		a13b 819	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (w ∈ x ↔ y ∈ x))
4	2, 3	anbi12d 476	. . . . . 6 ⊢ (w = y → ((z ∈ w ∧ w ∈ x) ↔ (z ∈ y ∧ y ∈ x)))
5	4	cbvexv 973	. . . . 5 ⊢ (∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) ↔ ∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x))
6	5	imbi1i 161	. . . 4 ⊢ ((∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ (∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
7	6	bial 695	. . 3 ⊢ (∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
8	7	biex 733	. 2 ⊢ (∃y∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y) ↔ ∃y∀z(∃y(z ∈ y ∧ y ∈ x) → z ∈ y))
9	1, 8	mpbir 165	1 ⊢ ∃y∀z(∃w(z ∈ w ∧ w ∈ x) → z ∈ y)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

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