Theorem zfpair 1891

Description: The Pairing axiom of Zermelo-Fraenkel set theory. Axiom 2 of [TakeutiZaring] p. 15. In some textbooks this is stated as a separate axiom; here we show it can be derived from the Extensionality, Replacement, and Power Set axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfpair	⊢ {x, y} ∈ V

Proof of Theorem zfpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpr2 1821	. 2 ⊢ {x, y} = {w∣(w = x ∨ w = y)}
2		19.43 767	. . . . 5 ⊢ (∃z((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) ↔ (∃z(z = ∅ ∧ w = x) ∨ ∃z(z = {∅} ∧ w = y)))
3		prlem2 577	. . . . . 6 ⊢ (((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) ↔ ((z = ∅ ∨ z = {∅}) ∧ ((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y))))
4	3	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃z((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) ↔ ∃z((z = ∅ ∨ z = {∅}) ∧ ((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y))))
5		19.41v 963	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z = ∅ ∧ w = x) ↔ (∃z z = ∅ ∧ w = x))
6		0ex 1745	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	isseti 1352	. . . . . . 7 ⊢ ∃z z = ∅
8	5, 7	mpbiran 547	. . . . . 6 ⊢ (∃z(z = ∅ ∧ w = x) ↔ w = x)
9		19.41v 963	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z = {∅} ∧ w = y) ↔ (∃z z = {∅} ∧ w = y))
10		p0ex 1885	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ V
11	10	isseti 1352	. . . . . . 7 ⊢ ∃z z = {∅}
12	9, 11	mpbiran 547	. . . . . 6 ⊢ (∃z(z = {∅} ∧ w = y) ↔ w = y)
13	8, 12	orbi12i 216	. . . . 5 ⊢ ((∃z(z = ∅ ∧ w = x) ∨ ∃z(z = {∅} ∧ w = y)) ↔ (w = x ∨ w = y))
14	2, 4, 13	3bitr3r 157	. . . 4 ⊢ ((w = x ∨ w = y) ↔ ∃z((z = ∅ ∨ z = {∅}) ∧ ((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y))))
15	14	biabi 1181	. . 3 ⊢ {w∣(w = x ∨ w = y)} = {w∣∃z((z = ∅ ∨ z = {∅}) ∧ ((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)))}
16		dfpr2 1821	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}} = {z∣(z = ∅ ∨ z = {∅})}
17		pp0ex 1886	. . . . 5 ⊢ {∅, {∅}} ∈ V
18	16, 17	eqeltrr 1160	. . . 4 ⊢ {z∣(z = ∅ ∨ z = {∅})} ∈ V
19		eqt2b 818	. . . . . . . 8 ⊢ (v = x → (w = v ↔ w = x))
20		0inp0 1888	. . . . . . . 8 ⊢ (z = ∅ → ¬ z = {∅})
21	19, 20	prlem1 576	. . . . . . 7 ⊢ (v = x → (z = ∅ → (((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v)))
22	21	19.21adv 945	. . . . . 6 ⊢ (v = x → (z = ∅ → ∀w(((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v)))
23	22	a4w 929	. . . . 5 ⊢ (z = ∅ → ∃v∀w(((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v))
24		eqt2b 818	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = y → (w = v ↔ w = y))
25	20	con2i 89	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = {∅} → ¬ z = ∅)
26	24, 25	prlem1 576	. . . . . . . 8 ⊢ (v = y → (z = {∅} → (((z = {∅} ∧ w = y) ∨ (z = ∅ ∧ w = x)) → w = v)))
27		orcom 209	. . . . . . . 8 ⊢ (((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) ↔ ((z = {∅} ∧ w = y) ∨ (z = ∅ ∧ w = x)))
28	26, 27	bisyl7 189	. . . . . . 7 ⊢ (v = y → (z = {∅} → (((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v)))
29	28	19.21adv 945	. . . . . 6 ⊢ (v = y → (z = {∅} → ∀w(((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v)))
30	29	a4w 929	. . . . 5 ⊢ (z = {∅} → ∃v∀w(((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v))
31	23, 30	jaoi 275	. . . 4 ⊢ ((z = ∅ ∨ z = {∅}) → ∃v∀w(((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)) → w = v))
32	18, 31	zfrep4 1479	. . 3 ⊢ {w∣∃z((z = ∅ ∨ z = {∅}) ∧ ((z = ∅ ∧ w = x) ∨ (z = {∅} ∧ w = y)))} ∈ V
33	15, 32	eqeltr 1159	. 2 ⊢ {w∣(w = x ∨ w = y)} ∈ V
34	1, 33	eqeltr 1159	1 ⊢ {x, y} ∈ V

Syntax hints:   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707  {csn 1808  {cpr 1809

This theorem is referenced by:  prex 1892  pwssun 1917  fr2nr 2177  xpex 2488  fiint 3445

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812

metamath.org