Theorem zfregcl 3446

Description: The Axiom of Regularity with class variables.

Hypothesis

Ref	Expression
zfregcl.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zfregcl	⊢ (∃x x ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ x ¬ y ∈ A)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem zfregcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfregcl.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		eleq2 1150	. . . 4 ⊢ (z = A → (x ∈ z ↔ x ∈ A))
3	2	biexdv 936	. . 3 ⊢ (z = A → (∃x x ∈ z ↔ ∃x x ∈ A))
4		eleq2 1150	. . . . . 6 ⊢ (z = A → (y ∈ z ↔ y ∈ A))
5	4	negbid 463	. . . . 5 ⊢ (z = A → (¬ y ∈ z ↔ ¬ y ∈ A))
6	5	biraldv 1219	. . . 4 ⊢ (z = A → (∀y ∈ x ¬ y ∈ z ↔ ∀y ∈ x ¬ y ∈ A))
7	6	rexeqd 1328	. . 3 ⊢ (z = A → (∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ x ¬ y ∈ A))
8	3, 7	imbi12d 474	. 2 ⊢ (z = A → ((∃x x ∈ z → ∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z) ↔ (∃x x ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ x ¬ y ∈ A)))
9		hbre1 1239	. . 3 ⊢ (∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z → ∀x∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z)
10		axreg 1083	. . . 4 ⊢ (x ∈ z → ∃x(x ∈ z ∧ ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z)))
11		df-ral 1205	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ x ¬ y ∈ z ↔ ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z))
12	11	birex 1224	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z ↔ ∃x ∈ z ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z))
13		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ z ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z) ↔ ∃x(x ∈ z ∧ ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z)))
14	12, 13	bitr2 152	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ z ∧ ∀y(y ∈ x → ¬ y ∈ z)) ↔ ∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z)
15	10, 14	sylib 173	. . 3 ⊢ (x ∈ z → ∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z)
16	9, 15	19.23ai 746	. 2 ⊢ (∃x x ∈ z → ∃x ∈ z ∀y ∈ x ¬ y ∈ z)
17	1, 8, 16	vtocl 1378	1 ⊢ (∃x x ∈ A → ∃x ∈ A ∀y ∈ x ¬ y ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348

This theorem is referenced by:  zfreg 3447  zfreg2 3448  eirrv 3449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-9 799  ax-12 802  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349

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