Theorem zfregfr 3452

Description: The epsilon relation is founded on any class.

Assertion

Ref	Expression
zfregfr	⊢ E Fr A

Proof of Theorem zfregfr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfepfr 2184	. 2 ⊢ (E Fr A ↔ ∀x((x ⊆ A ∧ ¬ x = ∅) → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅))
2		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
3	2	zfreg2 3448	. . 3 ⊢ (¬ x = ∅ → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅)
4	3	adantl 305	. 2 ⊢ ((x ⊆ A ∧ ¬ x = ∅) → ∃y ∈ x (x ∩ y) = ∅)
5	1, 4	mpgbir 686	1 ⊢ E Fr A

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  Ecep 2056   Fr wfr 2061

This theorem is referenced by:  en2lp 3453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077  ax-reg 1078

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-fr 2169

metamath.org