Theorem zfregs 3491

Description: The strong form of the Axiom of Regularity, which does not require that A be a set. Axiom 6' of [TakeutiZaring] p. 21. The proof makes use of a special case of Proposition 9.4 of [TakeutiZaring] p. 75.

Assertion

Ref	Expression
zfregs	⊢ (¬ A = ∅ → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem zfregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 1714	. 2 ⊢ (¬ A = ∅ ↔ ∃z z ∈ A)
2		snex 1859	. . . . 5 ⊢ {z} ∈ V
3	2	tz9.1 3490	. . . 4 ⊢ ∃y({z} ⊆ y ∧ Tr y ∧ ∀w(({z} ⊆ w ∧ Tr w) → y ⊆ w))
4		trel 2048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Tr y → ((w ∈ x ∧ x ∈ y) → w ∈ y))
5		inass 1650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((y ∩ A) ∩ x) = (y ∩ (A ∩ x))
6		incom 1636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (A ∩ x) = (x ∩ A)
7	6	ineq2i 1642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y ∩ (A ∩ x)) = (y ∩ (x ∩ A))
8	5, 7	eqtr 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((y ∩ A) ∩ x) = (y ∩ (x ∩ A))
9	8	eleq2i 1153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (w ∈ ((y ∩ A) ∩ x) ↔ w ∈ (y ∩ (x ∩ A)))
10		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (w ∈ (y ∩ (x ∩ A)) ↔ (w ∈ y ∧ w ∈ (x ∩ A)))
11	9, 10	bitr2 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((w ∈ y ∧ w ∈ (x ∩ A)) ↔ w ∈ ((y ∩ A) ∩ x))
12		n0i 1712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (w ∈ ((y ∩ A) ∩ x) → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)
13	11, 12	sylbi 174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((w ∈ y ∧ w ∈ (x ∩ A)) → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)
14	13	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (w ∈ y → (w ∈ (x ∩ A) → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅))
15	4, 14	syl6 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (Tr y → ((w ∈ x ∧ x ∈ y) → (w ∈ (x ∩ A) → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
16	15	exp3a 292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (Tr y → (w ∈ x → (x ∈ y → (w ∈ (x ∩ A) → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅))))
17	16	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Tr y → (w ∈ x → (w ∈ (x ∩ A) → (x ∈ y → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅))))
18	17	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Tr y → ((w ∈ x ∧ w ∈ (x ∩ A)) → (x ∈ y → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
19		inss1 1657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (x ∩ A) ⊆ x
20	19	sseli 1504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (w ∈ (x ∩ A) → w ∈ x)
21	20	ancri 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (w ∈ (x ∩ A) → (w ∈ x ∧ w ∈ (x ∩ A)))
22	18, 21	syl5 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Tr y → (w ∈ (x ∩ A) → (x ∈ y → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
23	22	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Tr y → (∃w w ∈ (x ∩ A) → (x ∈ y → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
24		n0 1714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (x ∩ A) = ∅ ↔ ∃w w ∈ (x ∩ A))
25	23, 24	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Tr y → (¬ (x ∩ A) = ∅ → (x ∈ y → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
26	25	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (Tr y → (x ∈ y → (¬ (x ∩ A) = ∅ → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
27	26	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((Tr y ∧ x ∈ y) → (¬ (x ∩ A) = ∅ → ¬ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅))
28	27	a3d 70	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Tr y ∧ x ∈ y) → (((y ∩ A) ∩ x) = ∅ → (x ∩ A) = ∅))
29	28	anim2d 433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((Tr y ∧ x ∈ y) → ((x ∈ A ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) → (x ∈ A ∧ (x ∩ A) = ∅)))
30	29	exp 291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Tr y → (x ∈ y → ((x ∈ A ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) → (x ∈ A ∧ (x ∩ A) = ∅))))
31	30	imp3a 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Tr y → ((x ∈ y ∧ (x ∈ A ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)) → (x ∈ A ∧ (x ∩ A) = ∅)))
32		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x ∈ (y ∩ A) ↔ (x ∈ y ∧ x ∈ A))
33	32	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ (y ∩ A) ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) ↔ ((x ∈ y ∧ x ∈ A) ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅))
34		anass 336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ y ∧ x ∈ A) ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) ↔ (x ∈ y ∧ (x ∈ A ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
35	33, 34	bitr 151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ (y ∩ A) ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) ↔ (x ∈ y ∧ (x ∈ A ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅)))
36	31, 35	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Tr y → ((x ∈ (y ∩ A) ∧ ((y ∩ A) ∩ x) = ∅) → (x ∈ A ∧ (x ∩ A) = ∅)))
37	36	r19.22dv2 1277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Tr y → (∃x ∈ (y ∩ A)((y ∩ A) ∩ x) = ∅ → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
38		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ y ∈ V
39	38	inex1 1697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∩ A) ∈ V
40	39	zfreg2 3448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (y ∩ A) = ∅ → ∃x ∈ (y ∩ A)((y ∩ A) ∩ x) = ∅)
41	37, 40	syl5 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Tr y → (¬ (y ∩ A) = ∅ → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
42		snssi 1851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ A → {z} ⊆ A)
43	42	anim2i 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ z ∈ A) → ({z} ⊆ y ∧ {z} ⊆ A))
44		ssin 1659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ {z} ⊆ A) ↔ {z} ⊆ (y ∩ A))
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ z ∈ V
46	45	snss 1849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ (y ∩ A) ↔ {z} ⊆ (y ∩ A))
47	44, 46	bitr4 154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ {z} ⊆ A) ↔ z ∈ (y ∩ A))
48	43, 47	sylib 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ z ∈ A) → z ∈ (y ∩ A))
49		n0i 1712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ (y ∩ A) → ¬ (y ∩ A) = ∅)
50	48, 49	syl 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ z ∈ A) → ¬ (y ∩ A) = ∅)
51	41, 50	syl5 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (Tr y → (({z} ⊆ y ∧ z ∈ A) → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
52	51	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr y → ({z} ⊆ y → (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)))
53	52	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ ({z} ⊆ y → (Tr y → (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)))
54	53	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ Tr y) → (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
55	54	3adant3 599	. . . . 5 ⊢ (({z} ⊆ y ∧ Tr y ∧ ∀w(({z} ⊆ w ∧ Tr w) → y ⊆ w)) → (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
56	55	19.23aiv 952	. . . 4 ⊢ (∃y({z} ⊆ y ∧ Tr y ∧ ∀w(({z} ⊆ w ∧ Tr w) → y ⊆ w)) → (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅))
57	3, 56	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)
58	57	19.23aiv 952	. 2 ⊢ (∃z z ∈ A → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)
59	1, 58	sylbi 174	1 ⊢ (¬ A = ∅ → ∃x ∈ A (x ∩ A) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808  Tr wtr 2041

This theorem is referenced by:  setind 3492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

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