Theorem zmax 4618

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number.

Assertion

Ref	Expression
zmax	⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x)))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem zmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegclt 4172	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → -A ∈ ℝ)
2		zmin 4617	. . 3 ⊢ (-A ∈ ℝ → ∃!z ∈ ℤ (-A ≤ z ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w)))
3	1, 2	syl 12	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!z ∈ ℤ (-A ≤ z ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w)))
4		lenegt 4368	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (x ≤ A ↔ -A ≤ -x))
5		zret 4567	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
6	4, 5	sylan 343	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ A ∈ ℝ) → (x ≤ A ↔ -A ≤ -x))
7	6	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (x ≤ A ↔ -A ≤ -x))
8		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = -w → (y ≤ A ↔ -w ≤ A))
9		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = -w → (y ≤ x ↔ -w ≤ x))
10	8, 9	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = -w → ((y ≤ A → y ≤ x) ↔ (-w ≤ A → -w ≤ x)))
11	10	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) → (-w ∈ ℤ → (-w ≤ A → -w ≤ x)))
12	11	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ∧ -w ∈ ℤ) → (-w ≤ A → -w ≤ x))
13		znegclt 4588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℤ → -w ∈ ℤ)
14	12, 13	sylan2 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ∧ w ∈ ℤ) → (-w ≤ A → -w ≤ x))
15	14	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ∧ w ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (-w ≤ A → -w ≤ x))
16		lenegcon1t 4369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (-w ≤ A ↔ -A ≤ w))
17	16	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (-w ≤ A ↔ -A ≤ w))
18		lenegcon1t 4369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (-w ≤ x ↔ -x ≤ w))
19	18, 5	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (-w ≤ x ↔ -x ≤ w))
20	19	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (-w ≤ x ↔ -x ≤ w))
21	17, 20	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((w ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((-w ≤ A → -w ≤ x) ↔ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
22		zret 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℤ → w ∈ ℝ)
23	21, 22	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((w ∈ ℤ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((-w ≤ A → -w ≤ x) ↔ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
24	23	adantll 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ∧ w ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((-w ≤ A → -w ≤ x) ↔ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
25	15, 24	mpbid 170	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ∧ w ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (-A ≤ w → -x ≤ w))
26	25	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) → (w ∈ ℤ → ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (-A ≤ w → -x ≤ w))))
27	26	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) → (w ∈ ℤ → (-A ≤ w → -x ≤ w))))
28	27	r19.21adv 1262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) → ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
29		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = -y → (-A ≤ w ↔ -A ≤ -y))
30		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = -y → (-x ≤ w ↔ -x ≤ -y))
31	29, 30	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = -y → ((-A ≤ w → -x ≤ w) ↔ (-A ≤ -y → -x ≤ -y)))
32	31	rcla4v 1402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) → (-y ∈ ℤ → (-A ≤ -y → -x ≤ -y)))
33	32	imp 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) ∧ -y ∈ ℤ) → (-A ≤ -y → -x ≤ -y))
34		znegclt 4588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℤ → -y ∈ ℤ)
35	33, 34	sylan2 346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) ∧ y ∈ ℤ) → (-A ≤ -y → -x ≤ -y))
36	35	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) ∧ y ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (-A ≤ -y → -x ≤ -y))
37		lenegt 4368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ) → (y ≤ A ↔ -A ≤ -y))
38	37	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (y ≤ A ↔ -A ≤ -y))
39		lenegt 4368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y ≤ x ↔ -x ≤ -y))
40	39, 5	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (y ≤ x ↔ -x ≤ -y))
41	40	adantrl 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (y ≤ x ↔ -x ≤ -y))
42	38, 41	imbi12d 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((y ≤ A → y ≤ x) ↔ (-A ≤ -y → -x ≤ -y)))
43		zret 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
44	42, 43	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℤ ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((y ≤ A → y ≤ x) ↔ (-A ≤ -y → -x ≤ -y)))
45	44	adantll 309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) ∧ y ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → ((y ≤ A → y ≤ x) ↔ (-A ≤ -y → -x ≤ -y)))
46	36, 45	mpbird 171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) ∧ y ∈ ℤ) ∧ (A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ)) → (y ≤ A → y ≤ x))
47	46	exp31 293	. . . . . . . 8 ⊢ (∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) → (y ∈ ℤ → ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (y ≤ A → y ≤ x))))
48	47	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) → (y ∈ ℤ → (y ≤ A → y ≤ x))))
49	48	r19.21adv 1262	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w) → ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x)))
50	28, 49	impbid 397	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → (∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x) ↔ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
51	7, 50	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ x ∈ ℤ) → ((x ≤ A ∧ ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x)) ↔ (-A ≤ -x ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w))))
52	51	bireudva 1317	. . 3 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (-A ≤ -x ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w))))
53		znegclt 4588	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℤ → -x ∈ ℤ)
54		znegclt 4588	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ℤ → -z ∈ ℤ)
55		negcon2t 4168	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → (z = -x ↔ x = -z))
56		zcnt 4568	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ℤ → z ∈ ℂ)
57		zcnt 4568	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℂ)
58	55, 56, 57	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ ℤ ∧ x ∈ ℤ) → (z = -x ↔ x = -z))
59	54, 58	reuhyp 1581	. . . 4 ⊢ (z ∈ ℤ → ∃!x ∈ ℤ z = -x)
60		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ (z = -x → (-A ≤ z ↔ -A ≤ -x))
61		breq1 2065	. . . . . . 7 ⊢ (z = -x → (z ≤ w ↔ -x ≤ w))
62	61	imbi2d 464	. . . . . 6 ⊢ (z = -x → ((-A ≤ w → z ≤ w) ↔ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
63	62	biraldv 1219	. . . . 5 ⊢ (z = -x → (∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w) ↔ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
64	60, 63	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (z = -x → ((-A ≤ z ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w)) ↔ (-A ≤ -x ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w))))
65	53, 59, 64	reuxfr 1580	. . 3 ⊢ (∃!z ∈ ℤ (-A ≤ z ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (-A ≤ -x ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → -x ≤ w)))
66	52, 65	syl6rbbr 417	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → (∃!z ∈ ℤ (-A ≤ z ∧ ∀w ∈ ℤ (-A ≤ w → z ≤ w)) ↔ ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x))))
67	3, 66	mpbid 170	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (x ≤ A ∧ ∀y ∈ ℤ (y ≤ A → y ≤ x)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃!wreu 1203   class class class wbr 2054  ℂcc 4026  ℝcr 4027  -cneg 4090   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org