Theorem zmin 4617

Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number.

Assertion

Ref	Expression
zmin	⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem zmin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleqid 1102	. . 3 ⊢ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} = {z ∈ ℤ∣A ≤ z}
2	1	uzwo3lem1 4614	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y)
3		breq2 2066	. . . . . . 7 ⊢ (z = x → (A ≤ z ↔ A ≤ x))
4	3	elrab 1422	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ↔ (x ∈ ℤ ∧ A ≤ x))
5		breq2 2066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z = y → (A ≤ z ↔ A ≤ y))
6	5	elrab 1422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ↔ (y ∈ ℤ ∧ A ≤ y))
7	6	imbi1i 161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} → x ≤ y) ↔ ((y ∈ ℤ ∧ A ≤ y) → x ≤ y))
8		impexp 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ ℤ ∧ A ≤ y) → x ≤ y) ↔ (y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y)))
9	7, 8	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} → x ≤ y) ↔ (y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y)))
10	9	bial 695	. . . . . . 7 ⊢ (∀y(y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} → x ≤ y) ↔ ∀y(y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y)))
11		df-ral 1205	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y ↔ ∀y(y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} → x ≤ y))
12		df-ral 1205	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y) ↔ ∀y(y ∈ ℤ → (A ≤ y → x ≤ y)))
13	10, 11, 12	3bitr4 158	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y ↔ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y))
14	4, 13	anbi12i 369	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ∧ ∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y) ↔ ((x ∈ ℤ ∧ A ≤ x) ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))
15		anass 336	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ A ≤ x) ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ (x ∈ ℤ ∧ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y))))
16	14, 15	bitr 151	. . . 4 ⊢ ((x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ∧ ∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y) ↔ (x ∈ ℤ ∧ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y))))
17	16	bieu 1014	. . 3 ⊢ (∃!x(x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ∧ ∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y) ↔ ∃!x(x ∈ ℤ ∧ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y))))
18		df-reu 1207	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y ↔ ∃!x(x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z} ∧ ∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y))
19		df-reu 1207	. . 3 ⊢ (∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ ∃!x(x ∈ ℤ ∧ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y))))
20	17, 18, 19	3bitr4r 159	. 2 ⊢ (∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)) ↔ ∃!x ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}∀y ∈ {z ∈ ℤ∣A ≤ z}x ≤ y)
21	2, 20	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ ℝ → ∃!x ∈ ℤ (A ≤ x ∧ ∀y ∈ ℤ (A ≤ y → x ≤ y)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃!weu 1007   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃!wreu 1203  {crab 1204   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   ≤ cle 4092  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  zmax 4618  zbtwnre 4619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org