Theorem zmulclt 4596

Description: Closure of multiplication of integers.

Assertion

Ref	Expression
zmulclt	⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → (A · B) ∈ ℤ)

Proof of Theorem zmulclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulrcl 4069	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A · B) ∈ ℝ)
2	1	a1d 14	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℝ))
3		nn0mulclt 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℕ0)
4		orc 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A · B) ∈ ℕ0 → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))
5	3, 4	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))
6	5	a1i 7	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0)))
7	2, 6	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))))
8	1	a1d 14	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℝ))
9		mulneg1t 4196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (-A · B) = -(A · B))
10		recnt 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ ℝ → A ∈ ℂ)
11		recnt 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (-A · B) = -(A · B))
13	12	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A · B) ∈ ℕ0 ↔ -(A · B) ∈ ℕ0))
14		nn0mulclt 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → (-A · B) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl5bi 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → -(A · B) ∈ ℕ0))
16		olc 224	. . . . . . . 8 ⊢ (-(A · B) ∈ ℕ0 → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))
17	15, 16	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0)))
18	8, 17	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))))
19	1	a1d 14	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℝ))
20		mulneg2t 4197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (A · -B) = -(A · B))
21	20, 10, 11	syl2an 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A · -B) = -(A · B))
22	21	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A · -B) ∈ ℕ0 ↔ -(A · B) ∈ ℕ0))
23		nn0mulclt 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → (A · -B) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl5bi 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → -(A · B) ∈ ℕ0))
25	24, 16	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0)))
26	19, 25	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))))
27	1	a1d 14	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℝ))
28		mul2negt 4199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (-A · -B) = (A · B))
29	28, 10, 11	syl2an 349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (-A · -B) = (A · B))
30	29	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A · -B) ∈ ℕ0 ↔ (A · B) ∈ ℕ0))
31		nn0mulclt 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → (-A · -B) ∈ ℕ0)
32	30, 31	syl5bi 183	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → (A · B) ∈ ℕ0))
33	32, 4	syl6 23	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0)))
34	27, 33	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → ((-A ∈ ℕ0 ∧ -B ∈ ℕ0) → ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))))
35	7, 18, 26, 34	ccased 563	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (((A ∈ ℕ0 ∨ -A ∈ ℕ0) ∧ (B ∈ ℕ0 ∨ -B ∈ ℕ0)) → ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0))))
36		elznn0 4576	. . . . 5 ⊢ ((A · B) ∈ ℤ ↔ ((A · B) ∈ ℝ ∧ ((A · B) ∈ ℕ0 ∨ -(A · B) ∈ ℕ0)))
37	35, 36	syl6ibr 186	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (((A ∈ ℕ0 ∨ -A ∈ ℕ0) ∧ (B ∈ ℕ0 ∨ -B ∈ ℕ0)) → (A · B) ∈ ℤ))
38	37	imp 277	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) ∧ ((A ∈ ℕ0 ∨ -A ∈ ℕ0) ∧ (B ∈ ℕ0 ∨ -B ∈ ℕ0))) → (A · B) ∈ ℤ)
39	38	an4s 390	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℕ0 ∨ -A ∈ ℕ0)) ∧ (B ∈ ℝ ∧ (B ∈ ℕ0 ∨ -B ∈ ℕ0))) → (A · B) ∈ ℤ)
40		elznn0 4576	. 2 ⊢ (A ∈ ℤ ↔ (A ∈ ℝ ∧ (A ∈ ℕ0 ∨ -A ∈ ℕ0)))
41		elznn0 4576	. 2 ⊢ (B ∈ ℤ ↔ (B ∈ ℝ ∧ (B ∈ ℕ0 ∨ -B ∈ ℕ0)))
42	39, 40, 41	syl2anb 350	1 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → (A · B) ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027   · cmulc 4032  -cneg 4090  ℕ₀cn0 4094  ℤcz 4095

This theorem is referenced by:  sqznn 4600  qaddclt 4642  qmulclt 4644  qrecclt 4646  zexpclt 4693  znnen 4930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org