Theorem zneo 4601

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zneo	⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ¬ (2 · A) = ((2 · B) + 1))

Proof of Theorem zneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 4586	. . . . 5 ⊢ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
2		zcnt 4568	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℤ → B ∈ ℂ)
3		1cn 4101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		2cn 4471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
5		2re 4470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
6		2pos 4479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 2
7	5, 6	gt0ne0i 4345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
8	3, 4, 7	divcl 4221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		axaddcom 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
10	8, 9	mpan2 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ ℂ → (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
11	10	opreq1d 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℂ → ((B + (1 / 2)) − B) = (((1 / 2) + B) − B))
12		pncant 4161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((1 / 2) + B) − B) = (1 / 2))
13	8, 12	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ ℂ → (((1 / 2) + B) − B) = (1 / 2))
14	11, 13	eqtrd 1128	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ ℂ → ((B + (1 / 2)) − B) = (1 / 2))
15	2, 14	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ℤ → ((B + (1 / 2)) − B) = (1 / 2))
16	15	eleq1d 1155	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℤ → (((B + (1 / 2)) − B) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
17	1, 16	mtbiri 539	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℤ → ¬ ((B + (1 / 2)) − B) ∈ ℤ)
18		zsubclt 4591	. . . . . 6 ⊢ (((B + (1 / 2)) ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ((B + (1 / 2)) − B) ∈ ℤ)
19	18	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℤ ∧ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ) → ((B + (1 / 2)) − B) ∈ ℤ)
20	19	exp 291	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℤ → ((B + (1 / 2)) ∈ ℤ → ((B + (1 / 2)) − B) ∈ ℤ))
21	17, 20	mtod 95	. . 3 ⊢ (B ∈ ℤ → ¬ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ)
22	21	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ¬ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ)
23		divcan3t 4251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · A) / 2) = A)
24	7, 23	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → ((2 · A) / 2) = A)
25	4, 24	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ ℂ → ((2 · A) / 2) = A)
26		axmulcl 4068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (2 · B) ∈ ℂ)
27	4, 26	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℂ → (2 · B) ∈ ℂ)
28		divdistrt 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · B) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) ∧ 2 ≠ 0) → (((2 · B) + 1) / 2) = (((2 · B) / 2) + (1 / 2)))
29	7, 28	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 · B) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((2 · B) + 1) / 2) = (((2 · B) / 2) + (1 / 2)))
30	4, 29	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 · B) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · B) + 1) / 2) = (((2 · B) / 2) + (1 / 2)))
31	3, 30	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · B) ∈ ℂ → (((2 · B) + 1) / 2) = (((2 · B) / 2) + (1 / 2)))
32	27, 31	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ∈ ℂ → (((2 · B) + 1) / 2) = (((2 · B) / 2) + (1 / 2)))
33		divcan3t 4251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · B) / 2) = B)
34	7, 33	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · B) / 2) = B)
35	4, 34	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ ℂ → ((2 · B) / 2) = B)
36	35	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ∈ ℂ → (((2 · B) / 2) + (1 / 2)) = (B + (1 / 2)))
37	32, 36	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B ∈ ℂ → (((2 · B) + 1) / 2) = (B + (1 / 2)))
38	25, 37	cleqan12d 1116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (((2 · A) / 2) = (((2 · B) + 1) / 2) ↔ A = (B + (1 / 2))))
39		opreq1 3006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → ((2 · A) / 2) = (((2 · B) + 1) / 2))
40	38, 39	syl5bi 183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → A = (B + (1 / 2))))
41		zcnt 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ ℤ → A ∈ ℂ)
42	40, 41, 2	syl2an 349	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → A = (B + (1 / 2))))
43	42	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) ∧ (2 · A) = ((2 · B) + 1)) → A = (B + (1 / 2)))
44	43	eleq1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) ∧ (2 · A) = ((2 · B) + 1)) → (A ∈ ℤ ↔ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ))
45	44	exp31 293	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℤ → (B ∈ ℤ → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → (A ∈ ℤ ↔ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ))))
46	45	com3l 34	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℤ → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → (A ∈ ℤ → (A ∈ ℤ ↔ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ))))
47		ibib 448	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℤ → (B + (1 / 2)) ∈ ℤ) ↔ (A ∈ ℤ → (A ∈ ℤ ↔ (B + (1 / 2)) ∈ ℤ)))
48	46, 47	syl6ibr 186	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℤ → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → (A ∈ ℤ → (B + (1 / 2)) ∈ ℤ)))
49	48	com3r 35	. . 3 ⊢ (A ∈ ℤ → (B ∈ ℤ → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → (B + (1 / 2)) ∈ ℤ)))
50	49	imp 277	. 2 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ((2 · A) = ((2 · B) + 1) → (B + (1 / 2)) ∈ ℤ))
51	22, 50	mtod 95	1 ⊢ ((A ∈ ℤ ∧ B ∈ ℤ) → ¬ (2 · A) = ((2 · B) + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089   / cdiv 4091  ℤcz 4095  2c2 4454

This theorem is referenced by:  znnenlem 4929

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org