Theorem znnenlem 4929

Description: Lemma for znnen 4930.

Assertion

Ref	Expression
znnenlem	⊢ (((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ)) → (y = x ↔ (2 · x) = ((-2 · y) + 1)))

Proof of Theorem znnenlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm5.21 502	. 2 ⊢ ((¬ y = x ∧ ¬ (2 · x) = ((-2 · y) + 1)) → (y = x ↔ (2 · x) = ((-2 · y) + 1)))
2		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (0 ≤ y ↔ ¬ y < 0))
4	2, 3	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℝ → (0 ≤ y ↔ ¬ y < 0))
5	4	bicon2d 404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℝ → (y < 0 ↔ ¬ 0 ≤ y))
6	5	adantr 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y < 0 ↔ ¬ 0 ≤ y))
7		ltletrt 4290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y < 0 ∧ 0 ≤ x) → y < x))
8	2, 7	mp3an2 640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((y < 0 ∧ 0 ≤ x) → y < x))
9	8	exp3a 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y < 0 → (0 ≤ x → y < x)))
10	6, 9	sylbird 180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (¬ 0 ≤ y → (0 ≤ x → y < x)))
11	10	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (0 ≤ x → (¬ 0 ≤ y → y < x)))
12	11	imp3a 279	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) → y < x))
13		ltnet 4282	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (y < x → ¬ y = x))
14	12, 13	syld 27	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) → ¬ y = x))
15	14	ancoms 334	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) → ¬ y = x))
16		zret 4567	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
17		zret 4567	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℝ)
18	15, 16, 17	syl2an 349	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) → ¬ y = x))
19	18	imp 277	. . 3 ⊢ (((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y)) → ¬ y = x)
20	19	ancoms 334	. 2 ⊢ (((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ)) → ¬ y = x)
21		zneo 4601	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ -y ∈ ℤ) → ¬ (2 · x) = ((2 · -y) + 1))
22		znegclt 4588	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ℤ → -y ∈ ℤ)
23	21, 22	sylan2 346	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ¬ (2 · x) = ((2 · -y) + 1))
24		zcnt 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℤ → y ∈ ℂ)
25		2cn 4471	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
26		mulneg12t 4198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (-2 · y) = (2 · -y))
27	25, 26	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℂ → (-2 · y) = (2 · -y))
28	24, 27	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ℤ → (-2 · y) = (2 · -y))
29	28	adantl 305	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → (-2 · y) = (2 · -y))
30	29	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ((-2 · y) + 1) = ((2 · -y) + 1))
31	30	cleq2d 1112	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ((2 · x) = ((-2 · y) + 1) ↔ (2 · x) = ((2 · -y) + 1)))
32	23, 31	mtbird 537	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ) → ¬ (2 · x) = ((-2 · y) + 1))
33	32	adantl 305	. 2 ⊢ (((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ)) → ¬ (2 · x) = ((-2 · y) + 1))
34	1, 20, 33	sylanc 361	1 ⊢ (((0 ≤ x ∧ ¬ 0 ≤ y) ∧ (x ∈ ℤ ∧ y ∈ ℤ)) → (y = x ↔ (2 · x) = ((-2 · y) + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033  -cneg 4090   ≤ cle 4092  ℤcz 4095  2c2 4454

This theorem is referenced by:  znnen 4930

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org