Theorem zorn2 3612

Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151.

Hypothesis

Ref	Expression
zorn.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zorn2	⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-so 2138	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z ↔ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po z ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∨ x = y ∨ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
2	1	pm3.27bd 263	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z → ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∨ x = y ∨ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
3		zorn2lem 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ x ⊂ y)
4		pm4.2 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y ↔ x = y)
5		zorn2lem 3610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ↔ y ⊂ x)
6	3, 4, 5	bi3or 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∨ x = y ∨ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ (x ⊂ y ∨ x = y ∨ y ⊂ x))
7		sspsstri 1572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ⊆ y ∨ y ⊆ x) ↔ (x ⊂ y ∨ x = y ∨ y ⊂ x))
8	6, 7	bitr4 154	. . . . . . . 8 ⊢ ((x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∨ x = y ∨ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ (x ⊆ y ∨ y ⊆ x))
9	8	bi2ral 1225	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∨ x = y ∨ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x))
10	2, 9	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z → ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x))
11	10	anim2i 270	. . . . 5 ⊢ ((z ⊆ A ∧ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → (z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)))
12		risset 1235	. . . . . 6 ⊢ (∪z ∈ A ↔ ∃x ∈ A x = ∪z)
13		eqimss2 1549	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∪z → ∪z ⊆ x)
14		unissb 1941	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪z ⊆ x ↔ ∀u ∈ z u ⊆ x)
15	13, 14	sylib 173	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∪z → ∀u ∈ z u ⊆ x)
16		zorn2lem 3610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ↔ u ⊂ x)
17	16	orbi1i 215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x) ↔ (u ⊂ x ∨ u = x))
18		sspss 1569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u ⊆ x ↔ (u ⊂ x ∨ u = x))
19	17, 18	bitr4 154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x) ↔ u ⊆ x)
20	19	biral 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x) ↔ ∀u ∈ z u ⊆ x)
21	15, 20	sylibr 175	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∪z → ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x))
22	21	r19.22si 1275	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A x = ∪z → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x))
23	12, 22	sylbi 174	. . . . 5 ⊢ (∪z ∈ A → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x))
24	11, 23	syl34 20	. . . 4 ⊢ (((z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ((z ⊆ A ∧ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x)))
25	24	19.20i 691	. . 3 ⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∀z((z ⊆ A ∧ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x)))
26		pssirr 1570	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ u ⊂ u
27		zorn2lem 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ↔ u ⊂ u)
28	26, 27	mtbir 167	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u
29		psstr 1574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u ⊂ y ∧ y ⊂ x) → u ⊂ x)
30	29, 16	sylibr 175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ⊂ y ∧ y ⊂ x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)
31		zorn2lem 3610	. . . . . . . . 9 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ u ⊂ y)
32	30, 31, 5	syl2anb 350	. . . . . . . 8 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∧ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)
33	28, 32	pm3.2i 234	. . . . . . 7 ⊢ (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ∧ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∧ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
34	33	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ ((u ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ∈ A) → (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ∧ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∧ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
35	34	rgen3 1265	. . . . 5 ⊢ ∀u ∈ A ∀y ∈ A ∀x ∈ A (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ∧ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∧ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
36		df-po 2128	. . . . 5 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A ↔ ∀u ∈ A ∀y ∈ A ∀x ∈ A (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ∧ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ∧ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
37	35, 36	mpbir 165	. . . 4 ⊢ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A
38		zorn.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
39	38	zorn 3611	. . . 4 ⊢ (({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A ∧ ∀z((z ⊆ A ∧ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x))) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
40	37, 39	mpan 518	. . 3 ⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ∨ u = x)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
41	25, 40	syl 12	. 2 ⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
42	3	negbii 162	. . . 4 ⊢ (¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ¬ x ⊂ y)
43	42	biral 1223	. . 3 ⊢ (∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)
44	43	birex 1224	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)
45	41, 44	sylib 173	1 ⊢ (∀z((z ⊆ A ∧ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ∨ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   ∧ w3a 581  ∀wal 672   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  {copab 2055   Po wpo 2058   Or wor 2059

This theorem is referenced by:  infxpidmlem9 4941

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439

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