Theorem df2i3 480

Description: Alternate definition for Kalmbach implication.

Assertion

Ref	Expression
df2i3	(a ->3 b) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b))))

Proof of Theorem df2i3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i3 45	. 2 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
2		ax-a3 31	. . 3 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))))
3		or12 73	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b))))
4		coman1 177	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b) C a_|_
5	4	comcom 435	. . . . . . . . 9 a_|_ C (a_|_ ^ b)
6	5	comcom2 175	. . . . . . . 8 a_|_ C (a_|_ ^ b)_|_
7	6	comcom5 440	. . . . . . 7 a C (a_|_ ^ b)
8		comorr 176	. . . . . . . . 9 a_|_ C (a_|_ v b)
9	8	comcom2 175	. . . . . . . 8 a_|_ C (a_|_ v b)_|_
10	9	comcom5 440	. . . . . . 7 a C (a_|_ v b)
11	7, 10	fh4 454	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ ^ b) v a) ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ v b)))
12		lea 152	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b) =< a_|_
13		leo 150	. . . . . . . . . 10 a_|_ =< (a_|_ v b)
14	12, 13	letr 129	. . . . . . . . 9 (a_|_ ^ b) =< (a_|_ v b)
15	14	df-le2 123	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ v b)) = (a_|_ v b)
16	15	lan 70	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) v a) ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ v b))) = (((a_|_ ^ b) v a) ^ (a_|_ v b))
17		ancom 68	. . . . . . . 8 (((a_|_ ^ b) v a) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ ((a_|_ ^ b) v a))
18		ax-a2 30	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b) v a) = (a v (a_|_ ^ b))
19	18	lan 70	. . . . . . . 8 ((a_|_ v b) ^ ((a_|_ ^ b) v a)) = ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b)))
20	17, 19	ax-r2 35	. . . . . . 7 (((a_|_ ^ b) v a) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b)))
21	16, 20	ax-r2 35	. . . . . 6 (((a_|_ ^ b) v a) ^ ((a_|_ ^ b) v (a_|_ v b))) = ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b)))
22	11, 21	ax-r2 35	. . . . 5 ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b)))
23	22	lor 66	. . . 4 ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ ^ b) v (a ^ (a_|_ v b)))) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b))))
24	3, 23	ax-r2 35	. . 3 ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b))))
25	2, 24	ax-r2 35	. 2 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b))))
26	1, 25	ax-r2 35	1 (a ->3 b) = ((a_|_ ^ b_|_) v ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b))))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  i3n2 483  ni32 484  i3lem1 486  i3th1 525  i3orlem5 538

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org