Theorem dfi3b 481

Description: Alternate Kalmbach conditional.

Assertion

Ref	Expression
dfi3b	(a ->3 b) = ((a_|_ v b) ^ ((a v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ ^ b)))

Proof of Theorem dfi3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-a2 30	. . 3 (((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b))) v (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)))) = ((((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))) v ((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b))))
2		ax-a3 31	. . . 4 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) = ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))))
3		oridm 102	. . . . . . 7 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b)) = (a_|_ ^ b)
4	3	ax-r1 34	. . . . . 6 (a_|_ ^ b) = ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b))
5		anidm 103	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ a_|_) = a_|_
6	5	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 a_|_ = (a_|_ ^ a_|_)
7	6	ran 71	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) = ((a_|_ ^ a_|_) ^ b)
8		anass 69	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ a_|_) ^ b) = (a_|_ ^ (a_|_ ^ b))
9	7, 8	ax-r2 35	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) = (a_|_ ^ (a_|_ ^ b))
10		anidm 103	. . . . . . . . . 10 (b ^ b) = b
11	10	ax-r1 34	. . . . . . . . 9 b = (b ^ b)
12	11	lan 70	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b) = (a_|_ ^ (b ^ b))
13		an12 74	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ (b ^ b)) = (b ^ (a_|_ ^ b))
14	12, 13	ax-r2 35	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b) = (b ^ (a_|_ ^ b))
15	9, 14	2or 67	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b)))
16	4, 15	ax-r2 35	. . . . 5 (a_|_ ^ b) = ((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b)))
17		lea 152	. . . . . . . . . . 11 (a_|_ ^ b_|_) =< a_|_
18		leo 150	. . . . . . . . . . 11 a_|_ =< (a_|_ v b)
19	17, 18	letr 129	. . . . . . . . . 10 (a_|_ ^ b_|_) =< (a_|_ v b)
20	19	df2le2 128	. . . . . . . . 9 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ v b)) = (a_|_ ^ b_|_)
21	20	ax-r1 34	. . . . . . . 8 (a_|_ ^ b_|_) = ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ v b))
22		ancom 68	. . . . . . . 8 ((a_|_ ^ b_|_) ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))
23	21, 22	ax-r2 35	. . . . . . 7 (a_|_ ^ b_|_) = ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))
24		ancom 68	. . . . . . 7 (a ^ (a_|_ v b)) = ((a_|_ v b) ^ a)
25	23, 24	2or 67	. . . . . 6 ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)) v ((a_|_ v b) ^ a))
26		ax-a2 30	. . . . . 6 (((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)) v ((a_|_ v b) ^ a)) = (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)))
27	25, 26	ax-r2 35	. . . . 5 ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)))
28	16, 27	2or 67	. . . 4 ((a_|_ ^ b) v ((a_|_ ^ b_|_) v (a ^ (a_|_ v b)))) = (((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b))) v (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))))
29	2, 28	ax-r2 35	. . 3 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b))) v (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))))
30		comor1 443	. . . . . 6 (a_|_ v b) C a_|_
31	30	comcom7 442	. . . . 5 (a_|_ v b) C a
32		comor2 444	. . . . . . 7 (a_|_ v b) C b
33	32	comcom2 175	. . . . . 6 (a_|_ v b) C b_|_
34	30, 33	com2an 466	. . . . 5 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b_|_)
35	31, 34	fh1 451	. . . 4 ((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b_|_))) = (((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_)))
36		coman1 177	. . . . 5 (a_|_ ^ b) C a_|_
37		coman2 178	. . . . 5 (a_|_ ^ b) C b
38	36, 37	fh1r 455	. . . 4 ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b)) = ((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b)))
39	35, 38	2or 67	. . 3 (((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b_|_))) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b))) = ((((a_|_ v b) ^ a) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b_|_))) v ((a_|_ ^ (a_|_ ^ b)) v (b ^ (a_|_ ^ b))))
40	1, 29, 39	3tr1 60	. 2 (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b))) = (((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b_|_))) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b)))
41		df-i3 45	. 2 (a ->3 b) = (((a_|_ ^ b) v (a_|_ ^ b_|_)) v (a ^ (a_|_ v b)))
42	31, 34	com2or 465	. . 3 (a_|_ v b) C (a v (a_|_ ^ b_|_))
43	30, 32	com2an 466	. . 3 (a_|_ v b) C (a_|_ ^ b)
44	42, 43	fh1 451	. 2 ((a_|_ v b) ^ ((a v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ ^ b))) = (((a_|_ v b) ^ (a v (a_|_ ^ b_|_))) v ((a_|_ v b) ^ (a_|_ ^ b)))
45	40, 41, 44	3tr1 60	1 (a ->3 b) = ((a_|_ v b) ^ ((a v (a_|_ ^ b_|_)) v (a_|_ ^ b)))

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->3 wi3 15

This theorem is referenced by:  dfi4b 482  u3lem15 777  negantlem9 841

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i3 45  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org