Theorem mlaconj 827

Description: For 5GO proof of Mladen's conjecture.

Assertion

Ref	Expression
mlaconj	((a == b) ^ ((a == c) v (b == c))) =< ((((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a))

Proof of Theorem mlaconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orbile 825	. . 3 ((a == c) v (b == c)) =< (((a ^ b) ->2 c) ^ (c ->1 (a v b)))
2	1	lelan 159	. 2 ((a == b) ^ ((a == c) v (b == c))) =< ((a == b) ^ (((a ^ b) ->2 c) ^ (c ->1 (a v b))))
3		ancom 68	. . . . . 6 (((a v b) ->1 a) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))) = (((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a))
4		id 58	. . . . . . . . 9 (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c))
5	4	ran 71	. . . . . . . 8 ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))) = ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))
6		anass 69	. . . . . . . 8 ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))))
7	5, 6	ax-r2 35	. . . . . . 7 ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))))
8	7	ran 71	. . . . . 6 (((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a)) = ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a))
9		anass 69	. . . . . 6 ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a)) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a)))
10	3, 8, 9	3tr 62	. . . . 5 (((a v b) ->1 a) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a)))
11	10	lan 70	. . . 4 ((a ->1 (a ^ b)) ^ (((a v b) ->1 a) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))))) = ((a ->1 (a ^ b)) ^ (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a))))
12		anass 69	. . . 4 (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a v b) ->1 a)) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))) = ((a ->1 (a ^ b)) ^ (((a v b) ->1 a) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))))
13		anass 69	. . . 4 (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a))) = ((a ->1 (a ^ b)) ^ (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a))))
14	11, 12, 13	3tr1 60	. . 3 (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a v b) ->1 a)) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))) = (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a)))
15		bi1o1a 780	. . . 4 (a == b) = ((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a v b) ->1 a))
16		i2i1i1 782	. . . . 5 ((a ^ b) ->2 c) = (((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c))
17	16	ran 71	. . . 4 (((a ^ b) ->2 c) ^ (c ->1 (a v b))) = ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b)))
18	15, 17	2an 72	. . 3 ((a == b) ^ (((a ^ b) ->2 c) ^ (c ->1 (a v b)))) = (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a v b) ->1 a)) ^ ((((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c)) ^ (((a ^ b) v c) ->1 c)) ^ (c ->1 (a v b))))
19		anass 69	. . 3 ((((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a)) = (((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ (((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b))) ^ ((a v b) ->1 a)))
20	14, 18, 19	3tr1 60	. 2 ((a == b) ^ (((a ^ b) ->2 c) ^ (c ->1 (a v b)))) = ((((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a))
21	2, 20	lbtr 131	1 ((a == b) ^ ((a == c) v (b == c))) =< ((((a ->1 (a ^ b)) ^ ((a ^ b) ->1 ((a ^ b) v c))) ^ ((((a ^ b) v c) ->1 c) ^ (c ->1 (a v b)))) ^ ((a v b) ->1 a))

Syntax hints:   =< wle 2   == tb 5   v wo 6   ^ wa 7   ->1 wi1 13   ->2 wi2 14

This theorem is referenced by:  mlaconj2 828

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a4 32  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37  ax-r3 421

This theorem depends on definitions:  df-b 38  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i1 43  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123  df-c1 124  df-c2 125

metamath.org