Theorem oa4btoc 946

Description: Derivation of 4-OA law variant.

Hypothesis

Ref	Expression
oa4btoc.1	((a ->1 g) ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))) =< g

Assertion

Ref	Expression
oa4btoc	(a_|_ ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))) =< g

Proof of Theorem oa4btoc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leo 150	. . . 4 a_|_ =< (a_|_ v (a ^ g))
2		df-i1 43	. . . . 5 (a ->1 g) = (a_|_ v (a ^ g))
3	2	ax-r1 34	. . . 4 (a_|_ v (a ^ g)) = (a ->1 g)
4	1, 3	lbtr 131	. . 3 a_|_ =< (a ->1 g)
5		leid 140	. . . . . 6 (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))) =< (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g))))
6	5	lelor 158	. . . . 5 (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g))))) =< (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))
7	6	lelan 159	. . . 4 (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))) =< (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g))))))
8	7	lelor 158	. . 3 (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g))))))) =< (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))
9	4, 8	le2an 161	. 2 (a_|_ ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))) =< ((a ->1 g) ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g))))))))
10		oa4btoc.1	. 2 ((a ->1 g) ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))) =< g
11	9, 10	letr 129	1 (a_|_ ^ (a v (c ^ (((a ^ c) v ((a ->1 g) ^ (c ->1 g))) v (((a ^ e) v ((a ->1 g) ^ (e ->1 g))) ^ ((c ^ e) v ((c ->1 g) ^ (e ->1 g)))))))) =< g

Syntax hints:   =< wle 2  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->1 wi1 13

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-t 40  df-f 41  df-i1 43  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org