Theorem salem1 819

Description: Lemma for attempt at Sasaki algebra.

Assertion

Ref	Expression
salem1	(((a_|_ ->1 b) v b) ->1 b) = (a ->2 b)

Proof of Theorem salem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		u1lemob 612	. . . . . 6 ((a_|_ ->1 b) v b) = (a_|__|_ v b)
2	1	ax-r4 36	. . . . 5 ((a_|_ ->1 b) v b)_|_ = (a_|__|_ v b)_|_
3		anor1 80	. . . . . 6 (a_|_ ^ b_|_) = (a_|__|_ v b)_|_
4	3	ax-r1 34	. . . . 5 (a_|__|_ v b)_|_ = (a_|_ ^ b_|_)
5	2, 4	ax-r2 35	. . . 4 ((a_|_ ->1 b) v b)_|_ = (a_|_ ^ b_|_)
6	1	ran 71	. . . . 5 (((a_|_ ->1 b) v b) ^ b) = ((a_|__|_ v b) ^ b)
7		ax-a2 30	. . . . . . 7 (a_|__|_ v b) = (b v a_|__|_)
8	7	ran 71	. . . . . 6 ((a_|__|_ v b) ^ b) = ((b v a_|__|_) ^ b)
9		ancom 68	. . . . . 6 ((b v a_|__|_) ^ b) = (b ^ (b v a_|__|_))
10	8, 9	ax-r2 35	. . . . 5 ((a_|__|_ v b) ^ b) = (b ^ (b v a_|__|_))
11		a5c 113	. . . . 5 (b ^ (b v a_|__|_)) = b
12	6, 10, 11	3tr 62	. . . 4 (((a_|_ ->1 b) v b) ^ b) = b
13	5, 12	2or 67	. . 3 (((a_|_ ->1 b) v b)_|_ v (((a_|_ ->1 b) v b) ^ b)) = ((a_|_ ^ b_|_) v b)
14		ax-a2 30	. . 3 ((a_|_ ^ b_|_) v b) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
15	13, 14	ax-r2 35	. 2 (((a_|_ ->1 b) v b)_|_ v (((a_|_ ->1 b) v b) ^ b)) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
16		df-i1 43	. 2 (((a_|_ ->1 b) v b) ->1 b) = (((a_|_ ->1 b) v b)_|_ v (((a_|_ ->1 b) v b) ^ b))
17		df-i2 44	. 2 (a ->2 b) = (b v (a_|_ ^ b_|_))
18	15, 16, 17	3tr1 60	1 (((a_|_ ->1 b) v b) ->1 b) = (a ->2 b)

Syntax hints:   = wb 1  _|_wn 4   v wo 6   ^ wa 7   ->1 wi1 13   ->2 wi2 14

This theorem was proved from axioms:  ax-a1 29  ax-a2 30  ax-a3 31  ax-a5 33  ax-r1 34  ax-r2 35  ax-r4 36  ax-r5 37

This theorem depends on definitions:  df-a 39  df-i1 43  df-i2 44  df-le1 122  df-le2 123

metamath.org